2. Движение заряженной частицы в конденсаторе

Определения и обозначения

Электрическое поле конденсатора — поле между его обкладками, то есть пластинами, на которых накапливаются заряды. Вдали от краёв поле можно считать однородным и направленным от положительной обкладки к отрицательной. Это приближение позволяет рассматривать силу и ускорение частицы как постоянные.

Напряжённость электрического поля обозначают E; это векторная величина, показывающая, с какой силой поле действует на единичный положительный заряд. Направление E совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Напряжённость нужна, чтобы связать свойства поля с действием на частицу.

Электрическая сила — сила, действующая на заряд q в поле; её записывают как F = qE. Для положительного заряда сила направлена по вектору E, а для отрицательного — противоположно ему. Эта формула помогает определить и величину силы, и её направление.

Параболическая траектория — путь частицы, которая влетает в однородное поле со скоростью поперёк его направления и отклоняется под действием силы. Вдоль первоначальной скорости движение может оставаться равномерным, а поперёк неё становится равноускоренным. Понятие траектории позволяет связать движение по двум направлениям в одну линию пути.

Как это устроено

Разность потенциалов между обкладками создаёт электрическое поле: заряды на пластинах воздействуют на находящуюся между ними частицу. В центральной части конденсатора края пластин почти не влияют на поле, поэтому силовые линии там параллельны, а напряжённость практически одинакова. Благодаря этому участок движения можно описывать с постоянным E, не пересчитывая поле в каждой точке.

Если напряжённость постоянна, то на неподвижный по отношению к полю заряд действует сила постоянного модуля |q|E. По второму закону Ньютона ускорение равно a = F/m = |q|E/m, где m — масса частицы. Для положительного заряда ускорение направлено вдоль поля, для отрицательного — против него, потому что направление силы зависит от знака q.

Представим, что частица влетает параллельно пластинам, а поле направлено перпендикулярно им. Сила не имеет составляющей вдоль пластин, поэтому ускорения в этом направлении нет и скорость вдоль них остаётся постоянной. Поперёк пластин сила разгоняет частицу, так что её скорость в этом направлении меняется равномерно.

Итоговое движение складывается из двух независимых движений: равномерного по одной оси и равноускоренного по другой. Пока частица проходит всё дальше вдоль пластин, поперечное смещение нарастает всё быстрее. Поэтому линия её пути искривляется и имеет форму параболы; знак заряда определяет, в какую сторону она изгибается.

Если начальная скорость направлена вдоль поля, сила действует вдоль той же линии или против неё, и скорость меняется по направлению поля. При влёте под углом скорость раскладывают на составляющие по выбранным осям: каждую рассматривают отдельно, учитывая ускорение только по направлению поля. Затем составляющие скорости и перемещения складывают как векторы.

Движение заряженной частицы в однородном поле конденсатора

Сначала найдите знак заряда и направление поля: это сразу показывает направление силы и ускорения. Затем выберите строку, соответствующую направлению начальной скорости, и запишите движение по каждой оси отдельно. Для определения отклонения используйте время движения внутри поля, а не всё время пути частицы.

Разбор задач

1. Ускорение частицы в поле

Частица с зарядом q = −2 · 10⁻⁶ Кл и массой m = 4 · 10⁻⁹ кг находится в поле напряжённостью E = 300 Н/Кл. Требуется найти модуль и направление её ускорения. Сначала определим величину силы, затем применим второй закон Ньютона; знак заряда учтём отдельно при выборе направления.

1. Найдём модуль силы: F = |q|E = 2 · 10⁻⁶ · 300 = 6 · 10⁻⁴ Н. Модуль берём положительным, потому что на этом шаге рассчитываем только величину действия поля. Направление пока задаётся отдельно.

2. По второму закону Ньютона вычислим ускорение: a = F/m = 6 · 10⁻⁴ / (4 · 10⁻⁹) = 1,5 · 10⁵ м/с². Ускорение направлено туда же, куда сила. Так как заряд отрицательный, сила направлена против E.

Ответ: a = 1,5 · 10⁵ м/с², ускорение направлено против электрического поля.

2. Пролёт параллельно пластинам

Электрон влетает параллельно пластинам со скоростью v₀ = 2 · 10⁷ м/с. Длина пластин L = 0,04 м, напряжённость поля E = 100 Н/Кл; заряд электрона по модулю равен 1,6 · 10⁻¹⁹ Кл, масса — 9,1 · 10⁻³¹ кг. Найдём время пролёта и поперечное смещение, считая начальную поперечную скорость нулевой.

1. Вдоль пластин ускорения нет, поэтому t = L/v₀ = 0,04/(2 · 10⁷) = 2 · 10⁻⁹ с. Это время частица находится в области поля. Оно же используется для расчёта поперечного движения.

2. Модуль поперечного ускорения равен a = |q|E/m = (1,6 · 10⁻¹⁹ · 100)/(9,1 · 10⁻³¹) ≈ 1,76 · 10¹³ м/с². При нулевой начальной поперечной скорости смещение составляет y = at²/2. Подстановка даёт y ≈ ½ · 1,76 · 10¹³ · (2 · 10⁻⁹)² ≈ 3,52 · 10⁻⁵ м.

Ответ: время пролёта — 2 · 10⁻⁹ с, смещение по модулю — примерно 3,5 · 10⁻⁵ м. Электрон отклонится против направления поля.

3. Влёт под углом к полю

Частица с положительным зарядом q = 2 · 10⁻⁶ Кл и массой m = 4 · 10⁻⁹ кг влетает в поле E = 300 Н/Кл со скоростью 20 м/с под углом 60° к направлению поля. Требуется найти скорость и её направление через 0,01 с. Разложим начальную скорость на составляющие: вдоль поля ускорение есть, а перпендикулярно полю ускорения нет.

1. Выберем ось x вдоль поля, а ось y перпендикулярно ему. Начальные составляющие равны vₓ₀ = v₀ cos 60° = 10 м/с и vᵧ₀ = v₀ sin 60° ≈ 17,3 м/с. Положительный заряд ускоряется по полю.

2. Ускорение вдоль поля: aₓ = qE/m = (2 · 10⁻⁶ · 300)/(4 · 10⁻⁹) = 1,5 · 10⁵ м/с². Через время t скорость по x будет vₓ = vₓ₀ + aₓt = 10 + 1,5 · 10⁵ · 0,01 = 1510 м/с. Перпендикулярная составляющая не меняется: vᵧ ≈ 17,3 м/с.

3. Модуль скорости найдём по теореме Пифагора: v = √(vₓ² + vᵧ²) ≈ 1510 м/с. Угол к полю удовлетворяет tg α = vᵧ/vₓ, поэтому α ≈ 0,66°. Малый угол получается потому, что составляющая вдоль поля за это время сильно увеличилась.

Ответ: скорость примерно 1510 м/с; направление составляет около 0,66° с направлением поля в сторону поперечной составляющей.

Типичные ошибки

• Ошибка — направлять силу на отрицательный заряд по вектору E. Так поступают, если забывают, что в формуле F = qE знак заряда меняет направление вектора силы. Проверьте себя: для q < 0 сила должна быть противоположна E.

• Ошибка — считать скорость постоянной, потому что поле однородно. Однородность означает постоянство напряжённости, а значит, силы и ускорения, но не скорости. Проверка проста: если на частицу действует ненулевая сила, её скорость меняется.

• Ошибка — изображать траекторию прямой, рассуждая, что частица равномерно движется вдоль пластин. Такое рассуждение учитывает только одну ось и пропускает ускорение поперёк пластин. Проверьте, есть ли у силы составляющая поперёк начальной скорости: если есть, траектория искривляется.

• Ошибка — подставлять напряжение между обкладками вместо E в формулу F = qE. Напряжение и напряжённость — разные величины, поэтому сначала найдите E; для плоского конденсатора вдали от краёв E = U/d, где d — расстояние между пластинами. Проверьте единицы: напряжённость измеряется в Н/Кл или В/м.

Связь с другими темами

Чтобы решать задачи о движении в конденсаторе, нужны сила, второй закон Ньютона и формулы равномерного и равноускоренного движения. Также полезно уметь раскладывать скорость и ускорение на составляющие по взаимно перпендикулярным осям. Такой способ пригодится и при изучении электронных пучков, электронно-лучевых приборов, а позднее — движения зарядов в электрических и магнитных полях.

Что запомнить

• В однородном поле на заряд действует сила F = qE.
• Ускорение частицы по модулю равно a = |q|E/m.
• Для положительного заряда сила направлена по E, для отрицательного — против E.
• Составляющая скорости вдоль пластин при отсутствии силы в этом направлении не меняется.
• Составляющая скорости вдоль поля изменяется под действием постоянного ускорения.
• При влёте параллельно пластинам траектория частицы в поле имеет форму параболы.