2. Движение заряженной частицы в конденсаторе

Определения и обозначения

Однородное электрическое поле между пластинами — поле, в каждой точке которого напряжённость имеет одинаковые модуль и направление. В средней области плоского конденсатора линии поля почти параллельны, а влияние краёв мало, поэтому поле считают однородным. Это упрощение позволяет считать электрическую силу постоянной.

Напряжённость электрического поля обозначают E. Она показывает, какая сила действовала бы на единичный положительный заряд в данной точке; единицы измерения — Н/Кл, что равносильно В/м. Через напряжённость удобно описывать поле независимо от того, какой заряд в него помещён.

Сила электрического поля — сила, с которой поле действует на заряд: F = qE. Здесь q — заряд частицы, а F и E — векторы; у положительного заряда сила направлена по полю, у отрицательного — против него. Знак заряда нужен, чтобы правильно определить направление движения.

Траектория заряженной частицы — линия, вдоль которой перемещается частица. В начальный момент скорость задаёт направление движения, но сила может изменить его: скорость меняется в сторону ускорения. Поэтому траектория не обязана совпадать ни с начальной скоростью, ни с направлением силы.

Как это устроено

Знаки зарядов пластин определяют направление электрического поля: оно направлено от положительной пластины к отрицательной. Вдали от краёв поле почти одинаково в разных точках, потому что пластины велики по сравнению с расстоянием между ними и их поля в промежутке складываются почти параллельно. У краёв линии искривляются, поэтому расчёты обычно рассматривают только центральную область. Однородность означает постоянство E, а не отсутствие действия на заряд.

На частицу действует F = qE, а её масса связывает силу с ускорением по второму закону Ньютона: F = ma. Отсюда a = qE/m; модуль ускорения равен |q|E/m, а знак q указывает, совпадает ли направление с полем. Положительная частица ускоряется по полю, отрицательная — против него. При постоянных E, q и m ускорение не меняется, пока частица находится между пластинами.

Для описания движения выберем ось x вдоль пластин, а ось y перпендикулярно им. Силу, а значит и ускорение, считаем направленными по оси y: вдоль пластин ускорения нет. Поэтому составляющая скорости vₓ остаётся постоянной, и координата x меняется равномерно. По оси y движение равноускоренное: y = y₀ + vᵧ₀t + at²/2.

Если частица влетает параллельно пластинам, её начальная поперечная скорость равна нулю: vᵧ₀ = 0. Тогда x = vₓt, а смещение по y равно at²/2; исключив время, получим y − y₀ = ax²/(2vₓ²). Это уравнение параболы, причём знак смещения определяется направлением ускорения. Если заряд отрицательный, ветвь параболы отклоняется в сторону, противоположную полю.

Чтобы найти время пролёта, сначала рассматривают движение вдоль пластин: при их длине L и постоянной скорости vₓ получаем t = L/vₓ. За это время поперечное смещение при vᵧ₀ = 0 равно at²/2, а поперечная скорость на выходе — at; продольная скорость сохраняется. Скорость на выходе складывается из двух перпендикулярных составляющих, поэтому её модуль равен √(vₓ² + vᵧ²). Проверка столкновения состоит в сравнении наибольшего смещения с расстоянием до ближайшей пластины.

Движение заряженной частицы в однородном поле конденсатора

Сначала выбери направления осей и запиши знак ускорения относительно них. Затем используй уравнение для каждой оси отдельно: одинаковое время t связывает продольное и поперечное движения. Такой порядок помогает не перепутать постоянную скорость вдоль пластин с ускоренным движением поперёк.

Разбор задач

Задача 1. Протон массой 1,67·10⁻²⁷ кг и зарядом +1,60·10⁻¹⁹ Кл находится в поле напряжённостью 2,0·10⁴ Н/Кл. Найдём силу и ускорение.

1. Сила по модулю: F = qE = 1,60·10⁻¹⁹ · 2,0·10⁴ = 3,2·10⁻¹⁵ Н.
2. Ускорение: a = F/m = 3,2·10⁻¹⁵ / 1,67·10⁻²⁷ ≈ 1,9·10¹² м/с².
3. Протон положителен, поэтому и сила, и ускорение направлены по полю.

Ответ: F = 3,2·10⁻¹⁵ Н, a ≈ 1,9·10¹² м/с²; обе величины направлены по полю. Если бы заряд был отрицательным при той же величине |q|, модули не изменились бы, а направления стали бы противоположными.

Задача 2. Электрон влетает параллельно пластинам со скоростью 2,0·10⁶ м/с. Длина пластин L = 0,040 м, напряжённость поля E = 1,0·10⁴ Н/Кл; масса электрона 9,1·10⁻³¹ кг, заряд по модулю 1,6·10⁻¹⁹ Кл. Найдём время и отклонение.

1. Вдоль пластин скорость постоянна, поэтому t = L/vₓ = 0,040/(2,0·10⁶) = 2,0·10⁻⁸ с.
2. Поперечное ускорение по модулю: a = |q|E/m ≈ 1,76·10¹⁵ м/с².
3. При нулевой начальной поперечной скорости смещение равно |y − y₀| = at²/2 ≈ 0,35 м. Направление отклонения электрона противоположно полю.

Ответ: время пролёта 2,0·10⁻⁸ с, расчётное отклонение около 0,35 м. Такое смещение может оказаться больше промежутка до пластины, поэтому результат следует проверить на столкновение; если частица достигает пластины раньше, формула для полного пролёта уже неприменима.

Задача 3. Частица влетает под углом к пластинам со скоростью v₀ = 5,0·10⁵ м/с. Угол к направлению вдоль пластин равен 30°, время до выхода — 4,0·10⁻⁸ с, а поперечное ускорение направлено к ближайшей пластине и равно 1,0·10¹⁴ м/с². Расстояние от входа до этой пластины — 0,015 м. Найдём выходную скорость и проверим столкновение.

1. Начальные составляющие: vₓ₀ = v₀ cos 30° ≈ 4,33·10⁵ м/с, vᵧ₀ = v₀ sin 30° = 2,5·10⁵ м/с.
2. За заданное время поперечное смещение к пластине равно vᵧ₀t + at²/2 = 0,010 м + 0,080 м = 0,090 м.
3. Поперечная скорость при выходе vᵧ = vᵧ₀ + at = 4,25·10⁶ м/с; vₓ остаётся 4,33·10⁵ м/с. Модуль скорости примерно 4,27·10⁶ м/с, а угол к пластинам можно найти как arctg(vᵧ/vₓ).

Ответ: частица не выйдет по заданной траектории: смещение 0,090 м больше расстояния 0,015 м, значит, она столкнётся с пластиной раньше. Скорость при выходе в этой модели вычислять физически бессмысленно, поскольку частица не достигает выхода.

Типичные ошибки

• Направлять силу и ускорение всегда по полю. Так рассуждают, забывая, что заряд может быть отрицательным. Проверка: подставь знак q в F = qE; минус означает направление против E.
• Приравнивать ускорение к напряжённости. E характеризует поле, а ускорение зависит ещё от заряда и массы. Проверь формулу a = qE/m и единицы: ускорение измеряется в м/с², напряжённость — в Н/Кл или В/м.
• Считать, что поле меняет скорость вдоль пластин. Это происходит, если ошибочно перенести поперечное ускорение на обе оси. Разложи векторы по осям: в идеализированной модели Fₓ = 0, значит, vₓ постоянна.
• Подставлять в формулу отклонения произвольное время. Так можно забыть, что поперечная сила действует только внутри конденсатора. Сначала найди время пролёта по движению вдоль пластин, например t = L/vₓ, а потом вычисляй поперечное смещение.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны формула силы в электрическом поле, второй закон Ньютона и уравнения равномерного и равноускоренного движения. Здесь механика применяется к электрическому воздействию: поле задаёт силу, а масса и заряд определяют ускорение. Расчёты объясняют, как отклоняют частицы в электронных приборах и измерительных устройствах. Позже такой разбор поможет сравнивать электрическое поле с магнитным, в котором заряженные частицы тоже меняют направление движения.

Что запомнить

• В однородном поле на частицу действует сила F = qE.
• Ускорение частицы равно a = qE/m.
• Для положительного заряда сила направлена по полю, для отрицательного — против поля.
• При влёте параллельно пластинам скорость вдоль них постоянна.
• Поперёк пластин частица движется равноускоренно.
• При начальной скорости параллельно пластинам траектория в поле — парабола.