3. Движение заряженного тела в электрическом поле с учётом силы тяжести

Определения и обозначения

Напряжённость электрического поля E — векторная величина, равная отношению силы, действующей на положительный пробный заряд, к этому заряду: E = F/q. Её направление совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Напряжённость нужна, чтобы описывать свойства поля независимо от выбранного заряда.

Электрическая сила — сила, с которой поле действует на заряд: Fэл = qE. Если заряд положительный, сила направлена по полю, а если отрицательный — против поля. По этой формуле можно найти не только модуль силы, но и учесть её направление через знак q.

Ускорение заряженного тела возникает из-за совместного действия электрической силы и силы тяжести. Второй закон Ньютона записывают так: ma = Fэл + mg, где сложение является векторным. Ускорение показывает, как изменяется скорость тела под действием обеих сил.

Траектория движения — линия, которую описывает тело при движении. Её вид определяется начальной скоростью и направлением результирующего ускорения. Если ускорение постоянно и имеет поперечную составляющую, траектория обычно оказывается параболой.

Как это устроено

На тело одновременно действуют сила тяжести mg и электрическая сила qE. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз и не зависит от знака заряда. Направление электрической силы совпадает с полем только для положительного заряда, а для отрицательного меняется на противоположное, поэтому знак заряда обязательно отмечают при построении схемы.

Результирующая сила находится сложением двух векторов: Fрез = mg + qE. Такое сложение учитывает не только модули сил, но и угол между ними, поэтому просто складывать числа можно лишь при одинаковом направлении. Ускорение получают делением результирующей силы на массу: a = Fрез/m.

Для расчётов выбирают оси так, чтобы упростить проекции сил, например горизонтальную ось x и вертикальную ось y. Тогда второй закон Ньютона записывают отдельно: maₓ = Fэлₓ + mgₓ и maᵧ = Fэлᵧ + mgᵧ. Знаки проекций определяются выбранным положительным направлением осей, а не только словами «вверх» и «вниз».

В однородном поле напряжённость одинакова во всех точках, поэтому электрическая сила постоянна. Сила тяжести тоже постоянна около поверхности Земли, следовательно, постоянны результирующая сила и ускорение. Для каждой оси используют уравнения x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2 и y = y₀ + v₀ᵧt + aᵧt²/2.

Разложение движения по осям возможно потому, что проекции второго закона Ньютона не мешают друг другу. По горизонтали тело может двигаться равномерно, если сила в этом направлении отсутствует, а по вертикали одновременно ускоряться. При изменении заряда или напряжённости увеличивается электрическая часть ускорения, при увеличении массы она уменьшается, а большая начальная скорость обычно делает траекторию более пологой.

Движение заряженного тела в однородном электрическом поле с учётом силы тяжести

Пользуйтесь таблицей после того, как выбрали оси и определили направления сил. Сначала найдите проекции результирующей силы, затем ускорение и только после этого подставляйте его в уравнения координат.

Разбор задач

Равновесие заряженного тела

Тело массой m и зарядом q покоится в однородном вертикальном поле. Требуется определить напряжённость, при которой тело остаётся неподвижным. Равновесие означает, что ускорение равно нулю, а значит, сумма сил должна быть нулевой.

1. На тело действуют сила тяжести mg вниз и электрическая сила qE. Для равновесия электрическая сила должна быть направлена вверх и иметь модуль mg.
2. По условию равновесия записываем qE = mg по модулям. Отсюда E = mg/|q|.
3. Направление поля зависит от знака заряда: для положительного заряда поле направлено вверх, для отрицательного — вниз, поскольку сила отрицательного заряда противоположна полю.

Ответ: E = mg/|q|, направление поля выбирают так, чтобы электрическая сила была направлена вверх.

Влёт горизонтально в вертикальное поле

Частица с массой m и зарядом q влетает горизонтально со скоростью v₀ в вертикальное однородное поле. Нужно найти ускорение и координаты через время t. Выберем ось x горизонтально по начальной скорости, а ось y направим вверх.

1. По горизонтали силы отсутствуют, поэтому aₓ = 0 и vₓ = v₀. По вертикали aᵧ = (qE − mg)/m, если поле направлено вверх и q считают со знаком.
2. При начальных координатах x₀ и y₀ используем уравнения движения: x = x₀ + v₀t и y = y₀ + aᵧt²/2, так как начальная вертикальная скорость равна нулю.
3. Знак aᵧ показывает направление отклонения: при aᵧ > 0 частица ускоряется вверх, при aᵧ < 0 — вниз, а при aᵧ = 0 движется горизонтально равномерно.

Ответ: a = (vектор с проекциями 0 и (qE − mg)/m), x = x₀ + v₀t, y = y₀ + (qE − mg)t²/(2m).

Поле под углом к начальной скорости

Частица входит со скоростью v₀ в однородное поле, направление которого образует угол с её скоростью. Нужно найти время до заданной границы и точку выхода. Удобнее выбрать ось x вдоль границы, а ось y перпендикулярно ей.

1. Разложите начальную скорость и ускорение на проекции: v₀ₓ = v₀ cos α, v₀ᵧ = v₀ sin α, а aₓ и aᵧ найдите из проекций сил qE и mg.
2. Запишите координату, перпендикулярную границе: y = y₀ + v₀ᵧt + aᵧt²/2. Подставьте координату границы yгр и решите получившееся квадратное уравнение относительно времени.
3. Выберите физически подходящий корень: время должно быть положительным, а частица в этот момент должна находиться в области поля. Затем найдите координату выхода по формуле x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2.

Ответ: время определяется из уравнения для координаты поперёк границы, а точка выхода — подстановкой этого времени в уравнение второй координаты.

Типичные ошибки

Электрическую силу направляют по полю независимо от знака заряда. Так ошибаются, когда запоминают только правило для положительного заряда. Проверьте себя: для отрицательного заряда направление силы должно быть противоположным E.

Модули силы тяжести и электрической силы складывают без учёта направлений. Причина ошибки — использование обычных чисел вместо векторов. Сначала нарисуйте силы или запишите их проекции со знаками, и только потом складывайте.

Считают, что в электрическом поле сила тяжести исчезает. Электрическое поле добавляет ещё одну силу, но не отменяет действие массы тела. Проверьте уравнение Ньютона: в нём должны присутствовать оба слагаемых, если тяжесть по условию задачи не устранена.

Полагают, что вертикальное ускорение изменяет горизонтальную скорость. Это возможно только при наличии горизонтальной составляющей силы. Если по оси x сила равна нулю, то aₓ = 0 и горизонтальная скорость остаётся постоянной.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны второй закон Ньютона, понятия силы тяжести и электрической силы. Также необходимо уметь складывать векторы и находить их проекции на оси. Без этих навыков трудно правильно определить направление ускорения.

Тема опирается на описание равноускоренного движения. Уравнения координат позволяют находить положение тела, время движения и точку пересечения с границей. Так векторная задача превращается в несколько обычных уравнений по координатам.

Полученные методы применяются при изучении движения частиц в электрических и магнитных полях. Они помогают анализировать отклонение электронов, ионов и других заряженных частиц. Особенно полезно умение разделять движение на составляющие.

Что запомнить

• На заряженное тело в электрическом поле действуют и электрическая сила, и сила тяжести.
• Электрическая сила равна qE; её направление зависит от знака заряда.
• При однородном поле результирующая сила и ускорение постоянны.
• Движение по разным осям рассматривают отдельно, используя проекции ускорения и начальной скорости.
• Если ускорение постоянно и не направлено вдоль начальной скорости, траектория обычно параболическая.
• При отсутствии силы вдоль некоторой оси скорость по этой оси не меняется.