§ 56. Движение заряженного тела в электрическом поле

Определения и обозначения

Электрическое поле — особая форма материи, которая действует на электрические заряды. Его силовое действие на заряд q описывает напряжённость E. Это понятие позволяет сравнивать поля по тому, какую силу они создают в одной и той же точке.

Напряжённость электрического поля — векторная величина E = F/q₀, равная отношению силы F, действующей на положительный пробный заряд, к его заряду q₀. Направление E совпадает с направлением силы для положительного заряда. По напряжённости можно узнать и величину силы, и её направление.

Сила, действующая на заряд в электрическом поле, задаётся векторной формулой F = qE. Для положительного заряда F направлена так же, как E, а для отрицательного — противоположно. Формула связывает характеристики поля с тем, как оно действует на конкретное тело.

Удельный заряд — отношение заряда тела к его массе q/m. При одной и той же напряжённости именно это отношение определяет модуль ускорения: чем оно больше, тем быстрее меняется скорость. Знак заряда при этом указывает направление ускорения относительно поля.

Как это устроено

На заряженное тело действует сила F = qE, поэтому оно получает ускорение согласно второму закону Ньютона: a = F/m = qE/m. В однородном поле E постоянно, а заряд и масса тела не меняются, значит, ускорение тоже постоянно. Если заряд положительный, ускорение направлено по полю; если отрицательный — против него. Так знак заряда определяет, в какую сторону начнёт меняться скорость.

Когда начальная скорость направлена вдоль поля, сила действует вдоль той же прямой, поэтому направление движения не меняется. Скорость изменяется равноускоренно: за одинаковые промежутки времени она получает одинаковые приращения. Для положительного заряда скорость по направлению поля увеличивается, если тело движется туда же, а отрицательный заряд ускоряется в противоположную сторону. При этом тело может сначала замедляться, если его начальная скорость направлена против ускорения.

Если начальная скорость перпендикулярна однородному полю, удобно рассматривать движение по двум осям. Поперёк поля сила не действует, поэтому скорость на этом направлении постоянна. Вдоль поля действует постоянная сила, и соответствующая составляющая скорости изменяется равноускоренно. За время, пока тело смещается поперёк поля, оно одновременно успевает отклониться вдоль него, поэтому траектория получается параболической.

При начальной скорости под углом к полю её раскладывают на составляющие: одну вдоль поля, другую поперёк. Такой разбор работает потому, что движение по взаимно перпендикулярным направлениям можно рассчитывать отдельно, а затем складывать перемещения. Вдоль поля действует ускорение qE/m, а поперечная составляющая силы равна нулю и не меняет поперечную скорость. В результате зависимость смещения вдоль поля от поперечного смещения имеет параболическую форму.

Величина отклонения за время пребывания в поле определяется напряжённостью, удельным зарядом и временем движения: ускорение по модулю равно |q|E/m, а смещение при нулевой начальной составляющей вдоль поля — |q|Et²/(2m). Время важно потому, что при постоянном ускорении смещение растёт пропорционально квадрату времени. Если поменять знак заряда, ускорение изменит направление, и при тех же начальных условиях частица отклонится в противоположную сторону. Поэтому для полного ответа недостаточно найти только модуль отклонения.

Движение заряженного тела в однородном электрическом поле

Выберите строку по направлению начальной скорости, а затем рассмотрите движение вдоль и поперёк поля отдельно. В таблице a = qE/m — векторное соотношение: знак заряда определяет направление ускорения. Если частица влетает под углом, используйте обе составляющие начальной скорости, а результаты сложите для получения траектории.

Разбор задач

Ускорение заряженного тела

Заряд q = 2·10⁻⁶ Кл, масса m = 4·10⁻⁹ кг, напряжённость однородного поля E = 500 Н/Кл. Найдём модуль и направление ускорения. Заряд положительный, поэтому ускорение будет направлено по полю.

1. Сначала найдём силу поля: F = qE = 2·10⁻⁶ · 500 = 1·10⁻³ Н. Положительный знак q означает, что сила направлена вдоль E. Это направление совпадает с направлением ускорения.
2. Применим второй закон Ньютона: a = F/m = 1·10⁻³/(4·10⁻⁹) = 2,5·10⁵ м/с². Проверим размерность: Н/кг = м/с². Значит, ответ согласуется с единицей ускорения.

Ответ: модуль ускорения равен 2,5·10⁵ м/с², направление совпадает с E.

Электрон влетает в поле перпендикулярно ему

Электрон летит горизонтально со скоростью 2·10⁷ м/с через область длиной 2 см; E = 100 Н/Кл. Найдём время пролёта и вертикальное смещение. Для электрона q = −e, где e ≈ 1,6·10⁻¹⁹ Кл, масса mₑ ≈ 9,1·10⁻³¹ кг.

1. Горизонтально сила не действует, поэтому скорость вдоль этой оси постоянна. Переведём длину в метры: L = 0,02 м; тогда t = L/v₀ = 0,02/(2·10⁷) = 1·10⁻⁹ с. Это время движения частицы внутри поля.
2. Модуль ускорения по вертикали равен a = eE/mₑ ≈ (1,6·10⁻¹⁹·100)/(9,1·10⁻³¹) ≈ 1,76·10¹³ м/с². Вертикальная начальная скорость равна нулю, поэтому смещение y = at²/2 по модулю. Получаем |y| ≈ 0,5·1,76·10¹³·(10⁻⁹)² = 8,8·10⁻⁶ м.
3. Электрон отрицателен, значит, он отклоняется против направления E. Если поле направлено вниз, смещение будет вверх; если вверх — вниз. Без указания направления поля можно назвать только направление относительно E.

Ответ: время пролёта 1·10⁻⁹ с, модуль вертикального смещения 8,8·10⁻⁶ м; отклонение направлено против E.

Частица влетает под углом

Пусть частица с зарядом q и массой m влетает со скоростью v₀ под углом α к однородному полю. Длина области вдоль поперечной оси равна L. Выберем ось x вдоль начальной поперечной составляющей скорости, а ось y — вдоль поля; так проекции движения записываются независимо.

1. Разложим начальную скорость: vₓ₀ = v₀ cos α, vᵧ₀ = v₀ sin α. Ускорение вдоль поля aᵧ = qE/m, а поперечное ускорение aₓ = 0. Если угол отсчитывается от выбранной поперечной оси, эти проекции соответствуют выбранным координатам.
2. По оси x движение равномерное, поэтому время до выхода t = L/(v₀ cos α), если cos α ≠ 0. Это время подставляем в уравнение для второй координаты. Получаем xвыхода = L и yвыхода = v₀ sin α · t + qE t²/(2m).
3. Компоненты скорости на выходе равны vₓ = v₀ cos α и vᵧ = v₀ sin α + (qE/m)t. Направление скорости задают эти две компоненты: угол к оси x можно найти как arctg(vᵧ/vₓ), учитывая четверть по знакам компонент. Если частица движется в противоположную сторону по оси x, время нужно находить по модулю соответствующей скорости.

Ответ: t = L/(v₀ cos α), координаты выхода — (L; v₀ sin α · t + qE t²/(2m)), скорость на выходе имеет компоненты (v₀ cos α; v₀ sin α + qEt/m). Подстановка исходных данных даёт численный результат.

Типичные ошибки

Направлять силу на отрицательный заряд по вектору E — значит забывать знак q в формуле F = qE. Так часто поступают, потому что направление поля обычно показывают стрелкой, но она задаёт направление силы именно для положительного заряда. Проверка: подставьте q со знаком; при q < 0 сила должна смотреть против E.

Считать, что электрическое поле изменяет обе составляющие скорости одинаково, неверно: ускорение направлено вдоль силы, а поперечная к ней составляющая скорости в однородном поле не меняется. Путаница возникает, когда движение рассматривают как одно целое, не выбирая оси. Проверьте проекции силы: там, где её нет, нет и ускорения.

Считать траекторию при поперечном влёте прямой — ошибка, потому что тело одновременно движется равномерно поперёк поля и равноускоренно вдоль него. Иногда прямая кажется правдоподобной, если мысленно учитывать только начальную скорость. Для проверки запишите координаты: одна пропорциональна t, другая содержит t²; исключение времени даёт параболу.

Подстановка модуля заряда вместо заряда со знаком может дать правильный модуль ускорения, но неверное направление. Это случается, когда векторную задачу сводят к числам слишком рано. Сначала запишите a = qE/m со знаком q и определите направление, а уже после этого вычисляйте модуль |a| = |q|E/m.

Связь с другими темами

Чтобы описывать движение частицы в поле, нужны второй закон Ньютона, равномерное и равноускоренное движение. При влёте под углом используется сложение движений по взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому важно уметь разлагать скорость и силу на проекции и отдельно применять уравнения движения для каждой оси.

Тема опирается на понятия электрического заряда, напряжённости поля и векторной силы: без них нельзя определить ускорение и его направление. Позже тот же подход к разложению движения пригодится при изучении движения частиц в электрических и магнитных полях. В каждой задаче нужно выяснить, какие силы действуют и как они меняют компоненты скорости.

Что запомнить

• На заряд в электрическом поле действует сила F = qE.
• Ускорение заряженного тела в однородном поле равно a = qE/m.
• Знак заряда определяет направление силы и ускорения относительно E.
• При движении вдоль поля скорость изменяется равноускоренно.
• При влёте перпендикулярно полю поперечное движение равномерное, а движение вдоль поля равноускоренное.
• В однородном поле траектория при наличии начальной скорости поперёк поля — парабола.