2. Циклические процессы

Определения и обозначения

Циклический процесс — процесс, после которого система возвращается в исходное состояние. В конце цикла давление, объём, температура и другие параметры состояния совпадают с начальными. Это позволяет сравнить полученную и отданную энергию за один полный круг.

Цикл — последовательность термодинамических процессов, замыкающаяся на диаграмме состояния. Он может состоять из разных участков: например, расширения при постоянном давлении, охлаждения при постоянном объёме и сжатия. Замкнутая линия показывает, что конечное состояние совпало с начальным.

Работа газа за цикл — суммарная работа газа на всех участках цикла. На диаграмме p(V) она связана с площадью замкнутой петли, потому что каждый участок даёт вклад pΔV. Знак работы определяется тем, преобладает ли расширение или сжатие.

КПД теплового двигателя — отношение полезной работы за цикл к теплоте, полученной от нагревателя: η = A/Qₙ. КПД меньше единицы, потому что часть теплоты рабочее тело обязательно отдаёт холодильнику. Эта величина показывает, какая доля полученной энергии превратилась в работу.

Как это устроено

Внутренняя энергия газа зависит только от его состояния, а не от того, каким путём газ к нему пришёл. После полного цикла все параметры состояния возвращаются к исходным, поэтому возвращается и внутренняя энергия. Следовательно, изменение внутренней энергии за цикл равно нулю: ΔU = 0.

На отдельном участке небольшая работа газа равна pΔV, где p — давление, а ΔV — изменение объёма. При расширении ΔV положительно: газ действует на поршень и совершает положительную работу. При сжатии ΔV отрицательно, поэтому работа газа отрицательна; это означает, что работа совершается над газом.

На диаграмме p(V) горизонтальная координата показывает объём, а вертикальная — давление. Работа на участке равна площади под графиком, поэтому при замкнутом пути складываются площади участков расширения и сжатия. Общая работа становится площадью внутри петли, поскольку противоположные вклады вычитаются.

Направление обхода определяет знак этой площади. При движении по часовой стрелке расширение обычно происходит при большем давлении, чем сжатие, поэтому работа газа положительна. При обратном направлении сжатие идёт при большем давлении, и работа за цикл отрицательна.

Первый закон термодинамики записывается как Q = ΔU + A, где Q — суммарная теплота, переданная газу, а A — работа газа. Для полного цикла ΔU = 0, поэтому Q = A. Тепловой двигатель получает от нагревателя теплоту Qₙ, часть превращает в работу, а остаток Qₓ отдаёт холодильнику: A = Qₙ − Qₓ, η = A/Qₙ = 1 − Qₓ/Qₙ.

Величины и знаки при анализе цикла

Таблицу используют, чтобы сначала определить изменение объёма, а затем знак работы газа. Изменение внутренней энергии на отдельном участке нельзя находить только по знаку работы: оно зависит также от полученной теплоты и температуры. Для полного цикла последняя колонка всегда даёт нулевое изменение.

Разбор задач

Задача 1

Условие: газ расширился при постоянном давлении p = 2,0·10⁵ Па от V₁ = 2,0 л до V₂ = 5,0 л. Найдите работу газа.

1. При постоянном давлении используем A = p(V₂ − V₁).
2. Переводим объёмы: 2,0 л = 2,0·10⁻³ м³, 5,0 л = 5,0·10⁻³ м³.
3. Находим изменение объёма: ΔV = 3,0·10⁻³ м³.
4. Подставляем значения: A = 2,0·10⁵ · 3,0·10⁻³ Дж = 6,0·10² Дж.

Ответ: A = 600 Дж. Работа положительна, потому что газ расширяется.

Задача 2

Условие: цикл состоит из изобарного расширения, изохорного охлаждения, изобарного сжатия и изохорного нагревания. По диаграмме давление при расширении равно 4,0·10⁵ Па, при сжатии — 1,0·10⁵ Па, объём изменяется от 1,0 до 5,0 л. Найдите работу за цикл.

1. На изохорных участках ΔV = 0, поэтому работа равна нулю.
2. При расширении ΔV = 4,0 л = 4,0·10⁻³ м³, поэтому A₁ = 4,0·10⁵ · 4,0·10⁻³ = 1600 Дж.
3. При сжатии изменение объёма равно −4,0·10⁻³ м³, поэтому A₃ = 1,0·10⁵ · (−4,0·10⁻³) = −400 Дж.
4. Складываем работы: A = 1600 + 0 − 400 + 0 = 1200 Дж. Это также площадь прямоугольной петли: (p₁ − p₂)(V₂ − V₁).

Ответ: A = 1200 Дж, работа положительна, так как цикл обходим по часовой стрелке.

Задача 3

Условие: двигатель получил от нагревателя Qₙ = 1,2 кДж и передал холодильнику Qₓ = 0,8 кДж. Найдите работу и КПД.

1. По энергетическому балансу цикла A = Qₙ − Qₓ = 1,2 − 0,8 = 0,4 кДж.
2. Переводить единицы для КПД не нужно, если обе теплоты выражены в кДж.
3. Вычисляем η = A/Qₙ = 0,4/1,2 = 1/3 ≈ 0,33.
4. В процентах η ≈ 33%.

Ответ: работа двигателя равна 0,4 кДж, КПД — примерно 33%.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать изменение внутренней энергии за цикл ненулевым. Её путают с изменениями на отдельных участках, хотя в конце цикла состояние полностью восстановлено. Проверьте начальную и конечную температуру: при их совпадении ΔU за цикл равно нулю.

Ошибка 2. Считать работу газа при сжатии положительной. Положительной бывает работа внешних сил над газом, но в принятом соглашении работа самого газа при уменьшении объёма отрицательна. Проверьте знак ΔV в формуле A = pΔV.

Ошибка 3. Складывать модули работ всех участков. Так теряется информация о том, что расширение и сжатие дают противоположные вклады. Записывайте каждый знак отдельно и только потом выполняйте сложение.

Ошибка 4. Делить работу на теплоту, отданную холодильнику. В знаменателе КПД стоит энергия, полученная от нагревателя, Qₙ. Проверка проста: у двигателя η = A/Qₙ должна получиться величина меньше единицы.

Связь с другими темами

Для анализа циклов нужны первый закон термодинамики, понятие внутренней энергии и формула работы газа при изменении объёма. Без них невозможно объяснить энергетический баланс и знаки величин.

Также требуется уметь читать диаграмму p(V), находить площадь прямоугольника или другой простой фигуры и учитывать направление обхода контура. График часто позволяет решить задачу быстрее формул.

Знания о циклах применяются при изучении тепловых двигателей и холодильных установок. Они помогают понять, почему преобразование теплоты в работу имеет ограничения.

Что запомнить

• В конце цикла система возвращается в исходное состояние.
• Изменение внутренней энергии за цикл равно нулю.
• Работа газа при расширении положительна, при сжатии отрицательна.
• Работа за цикл на диаграмме p(V) равна площади замкнутой петли с учётом направления обхода.
• За цикл работа газа равна суммарной теплоте, полученной системой.
• КПД теплового двигателя равен отношению полезной работы к теплоте, полученной от нагревателя.