3. Циклические процессы

Определения и обозначения

Циклический процесс — процесс, после которого система возвращается в исходное состояние. В конце цикла давление, объём, температура и другие параметры совпадают с начальными, поэтому изменение внутренней энергии за цикл равно нулю. Это позволяет сравнивать полученную теплоту и совершённую работу.

Цикл — замкнутый путь процесса на диаграмме «давление — объём», или p–V. Каждая точка показывает состояние газа, а направление обхода контура задаёт последовательность этих состояний. По форме и направлению цикла можно определить работу газа.

Работа газа за цикл — суммарная работа газа при расширении и сжатии на всех участках полного цикла. Работа расширения положительна, работа сжатия отрицательна, поэтому нужно складывать их с учётом знаков. На диаграмме p–V результат связан с площадью, заключённой внутри замкнутой линии.

Тепловой двигатель — устройство, которое в циклическом процессе превращает часть полученной теплоты в работу. В нём есть нагреватель, рабочее тело, например газ, и холодильник. Рабочее тело получает энергию от нагревателя, совершает работу и передаёт остаток теплоты холодильнику.

Как это устроено

Внутренняя энергия возвращается к исходному значению, потому что она является функцией состояния. Это означает, что её значение определяется текущими параметрами газа, а не тем, каким путём газ к ним пришёл. В начале и конце цикла состояние одинаково, поэтому ΔU за цикл равно нулю, даже если на отдельных участках энергия изменялась.

Первый закон термодинамики записывается как Q = ΔU + A, где Q — полученная газом теплота, а A — работа газа. Для полного цикла ΔU = 0, так как начальное и конечное состояния совпадают. Поэтому суммарное количество теплоты за цикл равно суммарной работе газа: Qц = Aц.

При расширении объём увеличивается, и газ действует на поршень, перемещая его наружу, поэтому работа газа положительна. При сжатии внешние силы перемещают поршень на газ, и работа газа считается отрицательной. Суммирование работ на участках даёт площадь внутри цикла на диаграмме p–V, потому что каждая работа связана с произведением давления на изменение объёма.

Направление обхода определяет, на каких давлениях происходят расширение и сжатие. При обходе по часовой стрелке расширение в среднем идёт при большем давлении, чем сжатие, поэтому положительная работа расширения по модулю больше отрицательной работы сжатия. При обратном обходе результат меняет знак, и работа газа становится отрицательной.

Тепловой двигатель сначала получает теплоту Q_н от нагревателя, затем рабочее тело совершает работу A, а остаток Q_х передаётся холодильнику. Баланс энергии имеет вид A = Q_н − Q_х. КПД равен η = A/Q_н, и он меньше единицы, потому что Q_х не может быть нулевой в реальном тепловом двигателе.

Работа и энергетический баланс в циклическом процессе

Сначала проверьте, идёт ли речь о полном замкнутом цикле: только тогда можно сразу положить ΔU = 0. Затем определите знак работы по направлению обхода и используйте площадь контура. Для теплового двигателя отдельно учитывайте теплоту нагревателя и теплоту, переданную холодильнику.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Газ совершил цикл, получив за него 600 Дж теплоты. Нужно найти изменение внутренней энергии за цикл и работу газа. Речь идёт о полном цикле, поэтому начальное и конечное состояния совпадают.

1. Для полного цикла записываем ΔU = 0.
2. Применяем первый закон термодинамики: Q_ц = ΔU + A_ц.
3. Подставляем значения: 600 Дж = 0 + A_ц, значит A_ц = 600 Дж.

Ответ: ΔU = 0, работа газа A_ц = 600 Дж. Положительный результат означает, что в данном цикле газ в итоге совершил работу.

Задача 2

Условие. На диаграмме p–V изображён прямоугольный цикл с давлениями p₁ и p₂, а также объёмами V₁ и V₂. Требуется определить работу газа за цикл и учесть направление обхода. Внутри прямоугольника находится область, соответствующая работе по модулю.

1. Находим высоту прямоугольника: Δp = p₂ − p₁.
2. Находим его ширину: ΔV = V₂ − V₁.
3. Площадь равна ΔpΔV, поэтому |A_ц| = (p₂ − p₁)(V₂ − V₁).
4. При обходе по часовой стрелке ставим знак «плюс», при обратном обходе — знак «минус».

Ответ: A_ц = ±(p₂ − p₁)(V₂ − V₁), где знак выбирают по направлению обхода. Для численного ответа давления нужно брать в паскалях, а объёмы — в кубических метрах.

Задача 3

Условие. Тепловой двигатель получает от нагревателя теплоту Q_н и отдаёт холодильнику теплоту Q_х. Нужно найти работу за цикл и КПД двигателя. Работа является полезной частью энергии, не переданной холодильнику.

1. Составляем энергетический баланс: A = Q_н − Q_х.
2. Подставляем заданные значения теплот и получаем работу двигателя.
3. Вычисляем КПД: η = A/Q_н = (Q_н − Q_х)/Q_н.
4. При необходимости умножаем результат η на 100%, чтобы получить КПД в процентах.

Ответ: A = Q_н − Q_х, η = (Q_н − Q_х)/Q_н. Перед вычислением проверьте, что обе теплоты выражены в одинаковых единицах.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Иногда считают, что возвращение в исходное состояние делает нулевыми и работу, и теплоту. Нулевым является только изменение внутренней энергии, потому что она зависит от состояния. Проверьте себя по формуле Q_ц = A_ц: оба значения могут быть ненулевыми.

Ошибка 2. Работу приравнивают к нулю из-за нулевого суммарного изменения объёма. Но работа зависит от давления на каждом участке и от пути процесса, а не только от конечного объёма. На диаграмме проверьте площадь внутри контура.

Ошибка 3. При сложении работ иногда складывают только их модули. Работа расширения положительна, а работа сжатия отрицательна, поэтому знаки нельзя терять. Составьте таблицу участков и укажите для каждого изменение объёма.

Ошибка 4. КПД иногда вычисляют как отношение работы к теплоте, отданной холодильнику. В знаменателе должна стоять теплота, полученная от нагревателя: η = A/Q_н. Проверка проста: КПД двигателя не должен превышать 100%.

Связь с другими темами

Для понимания циклов нужны первый закон термодинамики, понятия внутренней энергии и работы газа при изменении объёма. Диаграмма p–V и площадь под графиком помогают анализировать работу тепловых двигателей и искать способы повышения их КПД. Циклические процессы показывают, как закон сохранения энергии ограничивает превращение теплоты в работу.

Что запомнить

• В цикле начальное и конечное состояния системы совпадают.
• Изменение внутренней энергии за полный цикл равно нулю.
• За цикл суммарное количество теплоты равно работе газа.
• Работа газа за цикл соответствует площади внутри замкнутого цикла на диаграмме p–V.
• Обход цикла по часовой стрелке соответствует положительной работе газа.
• КПД теплового двигателя меньше единицы: часть полученной теплоты передаётся холодильнику.