3. Расширение газа под поршнем

Определения и обозначения

Работа газа — механическая работа, которую газ совершает, действуя на подвижный поршень. Она связана с силой давления и перемещением поршня: если сила направлена вдоль перемещения, газ передаёт энергию поршню. Это понятие позволяет описывать изменение энергии при расширении или сжатии.

Изобарное расширение — увеличение объёма газа при постоянном давлении. Газ выталкивает поршень наружу, и расстояние между ним и неподвижной стенкой сосуда увеличивается. Такой процесс удобно описывать одной формулой работы, потому что давление не меняется.

Изобарное сжатие — уменьшение объёма газа при постоянном давлении. Внешнее воздействие перемещает поршень внутрь, навстречу направлению силы давления газа. Сравнение с расширением помогает правильно определить знак работы.

Диаграмма p(V) — график зависимости давления газа p от его объёма V. Каждая точка на нём соответствует состоянию газа, а линия показывает, как состояние меняется в процессе. Такой график помогает находить работу даже тогда, когда давление меняется.

Как это устроено

Молекулы газа ударяются о поршень и передают ему импульс, поэтому на него действует сила давления. Если давление одинаково по поверхности поршня, модуль силы равен F = pS, где S — площадь поршня. Чем больше давление или площадь, тем сильнее газ толкает поршень. Именно действие этой силы позволяет газу совершать работу.

Когда поршень перемещается на расстояние Δx, газ действует на него на всём пути. Работа постоянной силы равна произведению силы на перемещение вдоль её направления: A = FΔx. При перемещении поршня объём меняется на ΔV = SΔx, а при постоянном давлении подстановка F = pS даёт A = pSΔx = pΔV. Поэтому для изобарного процесса достаточно знать давление и изменение объёма.

Знак работы определяется направлением силы относительно перемещения. При расширении поршень движется наружу, как и направлена сила газа, поэтому A положительна и газ отдаёт энергию. При сжатии поршень движется внутрь против силы давления, так что работа газа отрицательна: энергию газу передают внешние силы. В формуле это отражается знаком ΔV, потому что ΔV = V₂ − V₁.

Если давление меняется, каждый небольшой участок перемещения совершается при своём давлении. Поэтому нельзя без основания умножить общее изменение объёма на какое-то одно давление: так можно получить неверный результат. На диаграмме p(V) работа соответствует площади под линией процесса между начальным и конечным объёмами. Для прямой линии давление меняется линейно, и эту площадь можно найти как площадь трапеции.

Работу газа не следует путать с работой внешних сил, например руки, которая нажимает на поршень. При квазистатическом изменении объёма — достаточно медленном, чтобы состояния газа можно было описывать давлением в каждый момент, — эти работы равны по модулю и противоположны по знаку. Когда газ расширяется, он совершает положительную работу, а внешние силы — отрицательную. При сжатии знаки меняются местами.

Работа газа при изменении объёма

Сначала определите, как изменился объём: вычтите начальный объём из конечного. Затем подставьте ΔV в формулу, сохраняя его знак. Таблица показывает, что знак работы зависит от направления процесса, а не от того, записали ли вы давление положительным числом.

Разбор задач

1. Изобарное расширение

Газ расширяется при давлении 1,5·10⁵ Па, а его объём увеличивается на 0,020 м³. Нужно найти работу газа. Давление постоянно, поэтому применима формула A = pΔV. Увеличение объёма означает, что результат должен быть положительным.

1. Запишем данные: p = 1,5·10⁵ Па, ΔV = 0,020 м³.
2. Подставим их в формулу: A = pΔV = 1,5·10⁵ · 0,020.
3. Вычислим: A = 3000 Па·м³ = 3000 Дж, поскольку 1 Па·м³ = 1 Дж.

Получилось положительное значение, что согласуется с расширением: газ толкает поршень наружу. Ответ: 3000 Дж.

2. Изобарное сжатие

Давление газа равно 2,0·10⁵ Па, а объём уменьшается с 0,060 м³ до 0,025 м³. Здесь важно не подменять изменение объёма его положительной величиной: используем конечное значение минус начальное. Отрицательный результат покажет, что работу совершали над газом.

1. Найдём изменение объёма: ΔV = V₂ − V₁ = 0,025 − 0,060 = −0,035 м³.
2. Подставим величины: A = pΔV = 2,0·10⁵ · (−0,035).
3. Вычислим: A = −7000 Па·м³ = −7000 Дж.

Минус не означает ошибку: при сжатии сила газа направлена против перемещения поршня. Ответ: −7000 Дж.

3. Давление меняется линейно

На диаграмме давление линейно падает от 3,0·10⁵ Па до 1,0·10⁵ Па, а объём растёт от 0,010 м³ до 0,050 м³. Использовать одно из этих давлений в A = pΔV нельзя, поскольку давление меняется на всём пути. Площадь под прямой на графике — трапеция, её можно вычислить через среднее давление.

1. Найдём изменение объёма: ΔV = 0,050 − 0,010 = 0,040 м³.
2. Рассчитаем среднее давление на прямом участке: pср = (3,0·10⁵ + 1,0·10⁵) / 2 = 2,0·10⁵ Па.
3. Найдём площадь трапеции, то есть работу: A = pсрΔV = 2,0·10⁵ · 0,040 = 8000 Дж.

Объём увеличивается, поэтому работа положительна. Ответ: 8000 Дж.

Типичные ошибки

Первая ошибка — применять A = pΔV при меняющемся давлении, выбрав для расчёта начальное, конечное или любое удобное значение p. Так поступают, потому что знакомая формула кажется универсальной, но она напрямую применима при постоянном давлении. Проверьте условие: если p меняется, находите площадь под графиком p(V) или разбивайте процесс на участки.

При сжатии иногда считают работу газа положительной, потому что берут только модуль изменения объёма. Причина — привычка считать работу числом без знака; однако сила газа направлена наружу, а поршень движется внутрь. Рассчитайте ΔV = V₂ − V₁: при сжатии оно отрицательно, поэтому отрицательна и работа газа при постоянном давлении.

Ещё одна ошибка — подставить площадь поршня вместо изменения объёма. Площадь S нужна для вычисления силы F = pS, а для изменения объёма требуется также перемещение поршня: ΔV = SΔx. Чтобы проверить расчёт, посмотрите на единицы: в формуле A = pΔV давление умножается на объём, а не на площадь.

Работу газа могут спутать с работой внешних сил, действующих на поршень. Их называют одинаково, потому что обе связаны с одним перемещением, но силы направлены противоположно. В квазистатическом процессе проверьте, кто совершает работу и над кем: при расширении работа газа положительна, а работа внешних сил имеет противоположный знак.

Связь с другими темами

Для изучения работы газа нужны понятия давления, сила давления и механическая работа постоянной силы. Связь давления и силы задаёт формула p = F/S, а представление о работе силы помогает понять, почему перемещение поршня важно. Работа газа входит в энергетический баланс при изменении внутренней энергии и связана с первым началом термодинамики.

Диаграмма p(V) позволяет увидеть работу как площадь и пригодится при изучении термодинамических процессов. В частности, по ней сравнивают работу газа на разных участках и рассматривают циклы, в которых газ возвращается к исходному состоянию. Значит, графическое представление дополняет расчёт по формулам и показывает весь ход процесса.

Что запомнить

• При постоянном давлении работа газа равна A = pΔV.
• Изменение объёма вычисляют как ΔV = V₂ − V₁.
• При расширении работа газа положительна.
• При сжатии работа газа отрицательна.
• При неизменном объёме работа газа равна нулю.
• На диаграмме p(V) работа газа равна площади под графиком процесса.