2. Разность потенциалов (напряжение)

Определения и обозначения

Электрический потенциал φ показывает потенциальную энергию, приходящуюся на единичный положительный заряд в данной точке поля: φ = E_p/q. Его можно представить как энергетическую характеристику точки, позволяющую сравнивать положения заряда в поле. Потенциал задают относительно выбранного нулевого уровня, поэтому сам по себе он относится к одной точке.

Разность потенциалов между точками A и B показывает, как меняется потенциальная энергия заряда при переходе между ними. Для единичного положительного заряда эта разность равна работе поля на таком переходе. Она позволяет описывать связь между двумя точками без необходимости отдельно рассматривать энергию каждого заряда.

Напряжение U_AB — это разность потенциалов φ_A − φ_B. Индексы указывают направление перехода: сначала названа начальная точка A, затем конечная B. Такой порядок важен, потому что при перестановке точек разность меняет знак.

Вольт — единица напряжения: 1 В = 1 Дж/Кл. Один вольт соответствует такой разности потенциалов, при которой поле совершает работу один джоуль, перемещая заряд один кулон. Эта единица показывает, сколько работы приходится на единицу заряда.

Как это устроено

Электрическое поле действует на заряд, поэтому при перемещении заряда оно может совершить работу. Работа связана с изменением потенциальной энергии: если поле совершает положительную работу, энергия уменьшается. Это выражается соотношением A_AB = −ΔE_p. Минус показывает, что энергия заряда убывает при положительной работе поля.

Чтобы сравнить действие поля на разные заряды, работу делят на величину перемещённого заряда. Для положительного заряда q работа поля при переходе из A в B равна A_AB = qU_AB, откуда U_AB = A_AB/q. Поэтому напряжение показывает работу поля, приходящуюся на единичный положительный заряд. Если заряд увеличится в несколько раз, работа при том же напряжении увеличится во столько же раз.

Потенциал каждой точки можно выразить через потенциальную энергию единичного положительного заряда. Разность потенциалов двух точек поэтому равна U_AB = φ_A − φ_B. Если поменять точки местами, получится U_BA = φ_B − φ_A = −U_AB. Знак сообщает направление изменения потенциала, а модуль напряжения при перестановке точек сохраняется.

Для заряда q работа поля A_AB = qU_AB, а изменение потенциальной энергии противоположно ей: ΔE_p = −A_AB. Значит, при переходе из A в B ΔE_p = −qU_AB. В формуле нужно учитывать знак самого заряда: для отрицательного заряда изменение энергии при том же напряжении будет иметь противоположный знак, чем для положительного.

Напряжение между двумя точками цепи измеряют вольтметром. Прибор подключают параллельно участку, чтобы его клеммы оказались соединены с концами этого участка. Полярность клемм выбирают в соответствии с направлением U_AB: положительную клемму соединяют с A, а отрицательную — с B. Если направление поменять, показание изменит знак.

Потенциал и напряжение: смысл и измерение

Сначала определите, относится ли величина к одной точке или к паре точек. Затем выберите подходящую связь с энергией или работой и проверьте порядок индексов. Для измерения напряжения в цепи используйте вольтметр, подключённый параллельно участку.

Разбор задач

Потенциалы точек A и B равны 12 В и 5 В. Найдите U_AB и U_BA.

1. Записываем формулу для напряжения в указанном порядке: U_AB = φ_A − φ_B. Индекс AB означает, что из потенциала A вычитается потенциал B.

2. Подставляем значения: U_AB = 12 В − 5 В = 7 В. Положительный результат показывает, что потенциал A выше потенциала B.

3. При обратном порядке точек U_BA = φ_B − φ_A = 5 В − 12 В = −7 В. Получилось то же значение по модулю, но противоположный знак.

Ответ: U_AB = 7 В, U_BA = −7 В.

Поле совершило работу 18 мкДж, переместив заряд 3 мкКл из точки A в точку B. Найдите U_AB.

1. Напряжение равно работе поля, делённой на заряд: U_AB = A_AB/q. В условии работа и заряд выражены в микроединицах, поэтому их можно подставить непосредственно.

2. Вычисляем: U_AB = 18 мкДж / 3 мкКл = 6 Дж/Кл. Множители «микро» сокращаются, поскольку они стоят и в числителе, и в знаменателе.

3. Так как 1 Дж/Кл = 1 В, получаем U_AB = 6 В. Положительная работа при положительном заряде согласуется с положительным напряжением в направлении A → B.

Ответ: U_AB = 6 В.

Заряд −2 мкКл переместился из точки A в точку B при U_AB = 15 В. Найдите изменение его потенциальной энергии и объясните знак результата.

1. Используем формулу ΔE_p = −qU_AB. В неё нужно подставить заряд со знаком: q = −2 мкКл, а не только его модуль.

2. Вычисляем: ΔE_p = −(−2 мкКл) · 15 В = 30 мкДж. При вычислении единиц используем 1 В = 1 Дж/Кл, поэтому мкКл · В даёт мкДж.

3. Изменение энергии положительно: потенциальная энергия отрицательного заряда увеличилась. Это согласуется с тем, что при положительном U_AB работа поля над отрицательным зарядом отрицательна, а ΔE_p = −A_AB.

Ответ: ΔE_p = 30 мкДж.

Типичные ошибки

Потенциал и напряжение иногда считают одним и тем же, потому что обе величины измеряются в вольтах. Но потенциал характеризует одну точку относительно выбранного уровня, а напряжение — разность между двумя точками. Проверка: у потенциала есть индекс одной точки, у напряжения — две точки.

Запись U_AB = φ_B − φ_A возникает, если перепутать порядок вычитания. По определению сначала берут потенциал первой точки в индексах, затем вычитают потенциал второй: U_AB = φ_A − φ_B. Проверяйте запись на примере чисел и не меняйте обозначение AB местами с формулой.

При перестановке точек иногда оставляют знак напряжения прежним. Однако U_BA = −U_AB, потому что меняется порядок вычитания; неизменным остаётся только модуль. Быстрая проверка: сложение U_AB + U_BA должно дать ноль.

Работу поля путают с изменением потенциальной энергии, хотя у этих величин противоположные знаки. Работа поля равна убыли энергии: A_AB = −ΔE_p. Чтобы проверить знак результата, подставьте его в эту связь и учтите знак заряда, если используете ΔE_p = −qU_AB.

Связь с другими темами

Для понимания напряжения нужны понятия электрического заряда и поля: именно поле действует на заряд и совершает работу. Также необходимы знания о работе и потенциальной энергии, поскольку напряжение связывает работу поля с энергией заряда. Эти понятия помогают объяснить, почему перемещение заряда может сопровождаться изменением его энергии.

Напряжение используется при изучении электрических цепей и закона Ома: оно характеризует разность потенциалов на участке цепи. Через напряжение и заряд можно определить работу электрического тока. Поэтому понимание знака и единиц напряжения пригодится при расчётах в следующих темах.

Что запомнить

• Напряжение между точками — это разность их потенциалов.
• U_AB = φ_A − φ_B.
• Работа поля при переносе заряда q из A в B равна qU_AB.
• Изменение потенциальной энергии при переходе из A в B равно −qU_AB.
• Единица напряжения — вольт: 1 В = 1 Дж/Кл.
• Вольтметр подключают параллельно участку цепи.