"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Растянутая или сжатая пружина способна совершить работу, когда возвращается к исходной форме: запас этой способности называют потенциальной энергией упругой деформации. Она возникает потому, что при изменении формы появляется сила упругости, направленная против деформации. Для пружины в пределах действия закона Гука энергия равна Eп = kx²/2, где k — жёсткость, а x — изменение длины. Эта формула помогает находить энергию пружины и описывать её превращение в движение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Упругая деформация — изменение формы или размеров тела, которое исчезает после снятия нагрузки. Например, растянутая пружина возвращается к прежней длине, если её отпустить. Деформация нужна не сама по себе: именно при ней возникает сила, стремящаяся восстановить исходную форму.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации и направленная против неё. Её модуль обозначают Fупр; направление силы определяет, будет ли она помогать возвращению тела в исходное состояние. В задачах о пружине обычно сначала находят модуль, а затем отдельно учитывают направление.
Жёсткость пружины k показывает, какая сила нужна для её единичного удлинения. Единица жёсткости — ньютон на метр (Н/м): чем больше k, тем труднее растянуть пружину на одинаковую величину. Эта характеристика позволяет сравнивать пружины и рассчитывать возникающую силу.
Потенциальная энергия упругой деформации — энергия деформированного тела, которую можно получить при его возвращении в недеформированное состояние. Её обозначают Eп и измеряют в джоулях. Такая энергия показывает, сколько работы может совершить упруго деформированное тело.
Для пружины при небольших деформациях выполняется закон Гука: Fупр = kx. Здесь x — не вся длина пружины, а её изменение относительно недеформированного состояния: при растяжении оно положительно, при сжатии можно учитывать знак по выбранному направлению. Модуль силы при этом равен k|x|, поэтому сила становится больше, когда сильнее деформируют пружину.
Чтобы медленно растянуть пружину на x, нужно прикладывать внешнюю силу, которая уравновешивает упругую. В начале растяжения сила близка к нулю, а затем растёт вместе с удлинением и в конце достигает kx. Поэтому нельзя вычислить работу как произведение конечной силы на весь путь: это означало бы, что такая сила действовала с самого начала.
Работа при растяжении находится по площади под графиком зависимости силы от удлинения. По закону Гука график Fупр = kx — прямая, выходящая из начала координат, а область под ней до выбранного x является треугольником. Его основание равно x, высота — kx, поэтому площадь равна ½ · x · kx.
Работа внешней силы при медленном растяжении увеличивает запас энергии пружины: Eп = ½kx². Квадрат удлинения появляется потому, что с ростом x увеличиваются сразу и путь, на котором действует сила, и сама конечная сила kx. Если удлинение увеличить вдвое, энергия возрастёт в четыре раза, а не вдвое.
Когда деформированное тело отпускают, сила упругости совершает работу и возвращает его к исходному состоянию. Запас потенциальной энергии может перейти в кинетическую энергию груза или самой пружины; часть энергии в реальном опыте может рассеяться, например, из-за сопротивления воздуха и трения. Если потерями можно пренебречь, начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую без уменьшения полной механической энергии.
| Величина или связь | Обозначение | Формула или единица | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| Удлинение | x | м | Изменение длины относительно недеформированного состояния |
| Жёсткость пружины | k | Н/м | Показывает, какая сила нужна для единичного удлинения |
| Модуль силы упругости | Fупр | Fупр = kx | Сила, возникающая при деформации в пределах закона Гука |
| Потенциальная энергия деформации | Eп | Eп = kx²/2 | Запас энергии упруго деформированной пружины |
| Зависимость энергии от удлинения | Eп(x) | Eп ∝ x² | При увеличении удлинения вдвое энергия возрастает в четыре раза |
В таблице сначала выбирают нужную величину и проверяют, какие данные для неё известны. Для вычислений удлинение подставляют в метрах, а жёсткость — в Н/м: тогда энергия получается в джоулях. В формуле энергии используется квадрат удлинения, поэтому результат не зависит от того, растянута пружина или сжата на ту же величину.
Пружина жёсткостью 200 Н/м растянута на 5 см. Найдём модуль силы упругости и потенциальную энергию деформации. В обе формулы входит удлинение относительно исходного состояния, поэтому сначала переведём сантиметры в метры.
Ответ: модуль силы упругости равен 10 Н, потенциальная энергия деформации — 0,25 Дж. Сила характеризует воздействие пружины в конечном положении, а энергия — работу, которую она может совершить при возвращении. Эти величины описывают разные свойства, поэтому для каждой применена своя формула.
Пружина растянута на 4 см и запасла энергию 0,08 Дж. Требуется определить её жёсткость. Здесь неизвестно k, поэтому преобразуем формулу энергии, выразив через неё жёсткость, и сначала переведём удлинение в метры.
Ответ: жёсткость пружины равна 100 Н/м. Проверка единиц подтверждает результат: джоуль равен ньютон-метру, поэтому Дж/м² = Н/м. Если оставить удлинение в сантиметрах, численный ответ и единица жёсткости окажутся неверными.
Пружину жёсткостью 300 Н/м растянули на 6 см и отпустили. Нужно найти начальную потенциальную энергию и максимальную скорость груза массой 0,12 кг, пренебрегая потерями. При максимальной скорости запас пружины считаем перешедшим в кинетическую энергию груза.
Ответ: начальная энергия равна 0,54 Дж, максимальная скорость груза — 3 м/с. Мы приравняли энергии в состояниях, между которыми потери отсутствуют. Результат относится к моменту, когда энергия пружины перешла в кинетическую энергию груза.
Первая ошибка — подставлять удлинение в сантиметрах в формулы с единицами СИ. Так поступают, потому что в условии длина часто дана в привычных сантиметрах, но жёсткость в Н/м требует метров. Перед вычислением проверьте перевод: например, 5 см = 0,05 м.
Вторая ошибка — считать работу силы упругости при растяжении положительной. Путают работу силы упругости с работой внешней силы, которая тянет пружину: при растяжении сама пружина действует против перемещения. Проверка проста: если сила и перемещение направлены в разные стороны, работа силы упругости отрицательна, а запас энергии растёт.
Третья ошибка — записывать Eп = kx², забывая деление на два. Так происходит, когда конечную силу kx принимают за постоянную на всём пути, хотя в начале растяжения сила равна нулю. Сверьте ответ с графиком: работа — площадь треугольника под прямой, а не прямоугольника.
Четвёртая ошибка — подставлять в формулу энергии полную длину пружины. Она не показывает, насколько пружина деформирована, и без длины в исходном состоянии не позволяет определить изменение. Вычислите x как разность между текущей и недеформированной длинами, а затем используйте именно эту разность.
Для понимания энергии пружины нужны закон Гука, понятие работы силы и представление о механической энергии. Закон Гука связывает силу с деформацией, а работа помогает вычислить, сколько энергии запасается при растяжении или сжатии. Поэтому график зависимости силы от удлинения одновременно показывает, как накапливается энергия.
Формула Eп = kx²/2 применяется в задачах, где энергия пружины превращается в кинетическую или другой вид энергии. Если потерями можно пренебречь, состояния системы связывают законом сохранения механической энергии. Так можно находить скорость груза, растяжение пружины или её жёсткость.
Почему в формуле энергии пружины появляется множитель 1/2?
При растяжении сила упругости не сразу становится равной kx: она постепенно растёт от нуля до этого значения. Поэтому средняя сила на пути растяжения равна kx/2, а работа — произведению средней силы на удлинение. Отсюда и появляется множитель 1/2.
Нужно ли учитывать знак удлинения при вычислении энергии?
Нет, для энергии берут квадрат удлинения: Eп = kx²/2. Поэтому одинаковые по модулю растяжение и сжатие дают одинаковую энергию, если закон Гука применим.
Почему работа силы упругости при растяжении отрицательна?
При растяжении пружины её сила направлена к исходному состоянию, а перемещение — в сторону растяжения. Сила и перемещение направлены противоположно, поэтому работа силы упругости отрицательна. При этом энергия, запасённая в пружине, увеличивается.
Можно ли применять формулу Eп = kx²/2 к любой деформации?
Нет, эта формула подходит для пружины или другого упругого тела при деформациях, для которых сила пропорциональна изменению формы, то есть выполняется закон Гука. При больших деформациях эта зависимость может нарушаться. Тогда нужно учитывать фактическую зависимость силы от деформации.
Что произойдёт с энергией пружины, когда её отпустить?
Пружина начнёт возвращаться к недеформированному состоянию и совершать работу. Запасённая энергия будет переходить в кинетическую энергию движущихся тел и, возможно, в другие виды энергии. Если потерями можно пренебречь, полная механическая энергия сохраняется.
3. Потенциальная энергия упругой деформации
