"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Деформированная пружина способна совершать работу: при растяжении или сжатии в ней запасается потенциальная энергия. Она появляется потому, что внешняя сила преодолевает сопротивление пружины. Главная формула темы — Eп = kx²/2, где k — жёсткость пружины, а x — модуль деформации. Энергия зависит от квадрата деформации, поэтому одинаковые растяжение и сжатие дают один и тот же запас энергии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Упругая деформация — изменение формы или размеров тела, исчезающее после прекращения действия внешней силы. Например, растянутая пружина возвращается к прежней длине. Это понятие показывает, что тело может запасать энергию и затем отдавать её.
Потенциальная энергия упругой деформации — энергия, запасённая деформированным упругим телом и способная перейти в механическую работу. Ею объясняется, почему отпущенная пружина может двигать брусок. В задачах эту энергию обозначают Eп.
Жёсткость пружины — величина, характеризующая её сопротивление деформации; обозначается k и измеряется в Н/м. Чем больше k, тем сильнее нужно растянуть или сжать пружину для той же деформации. Жёсткость входит во все основные формулы темы.
Закон Гука задаёт силу упругости: Fупр = −kx, а по модулю Fупр = k|x|. Знак минус означает, что сила направлена противоположно смещению. Закон применим, пока деформация остаётся упругой.
При растяжении или сжатии пружины внешняя сила перемещает её конец, преодолевая сопротивление упругости. Работа внешней силы не исчезает, а переходит во внутренний запас энергии деформированной пружины. Поэтому отпущенная пружина может совершить работу над другим телом.
Сила упругости меняется в процессе деформации: в начале, когда x = 0, она равна нулю, а затем постепенно возрастает по закону Гука. Средняя сила на пути от 0 до x равна половине конечной силы, то есть kx/2. Поэтому работа внешней силы равна произведению средней силы на путь: A = (kx/2)x = kx²/2.
Если пружину медленно деформируют и начальная деформация равна нулю, работа внешней силы полностью превращается в потенциальную энергию. При выборе нулевой энергии для недеформированной пружины получаем Eп = kx²/2. При обратном движении пружина отдаёт этот запас, а работа силы упругости уменьшает потенциальную энергию.
Квадрат деформации появляется потому, что сама сила пропорциональна x, а путь, на котором она действует, тоже равен x. Квадрат автоматически устраняет знак: при x = 0,1 м и x = −0,1 м энергия одинакова. Поэтому одной формулой описываются и растяжение, и сжатие, если величина деформации не выходит за пределы упругости.
Нулевой уровень потенциальной энергии можно выбрать условно, поскольку физически важна разность энергий. Для пружины обычно принимают Eп = 0 в недеформированном состоянии: это удобно и делает формулу особенно простой. При другом выборе ко всем значениям добавилась бы одна и та же постоянная, но изменения энергии остались бы прежними.
| Величина или случай | Формула | Что означает | Единица измерения |
|---|---|---|---|
| Деформация пружины | x = l − l0 | Изменение длины; для энергии берут |x| | м |
| Сила упругости | Fупр = −kx; |Fупр| = k|x| | Сила сопротивления деформации | Н |
| Работа внешней силы при деформации от 0 до x | A = kx²/2 | Энергия, переданная пружине | Дж |
| Потенциальная энергия деформированной пружины | Eп = kx²/2 | Запас энергии при нулевом уровне в x = 0 | Дж |
| Изменение потенциальной энергии при переходе от x1 к x2 | ΔEп = k(x2² − x1²)/2 | Разность конечной и начальной энергий | Дж |
| Растяжение и сжатие | Eп = k|x|²/2 | При одинаковом модуле деформации энергия одинакова | Дж |
Сначала определите, какая величина неизвестна, и приведите деформацию к метрам. Затем выберите строку с нужной формулой, подставьте значения в единицах СИ и проверьте единицу результата.
Если рассматривается переход между двумя деформациями, используйте разность энергий, а не просто конечную формулу. Направление смещения нужно учитывать для силы, но для энергии достаточно модуля деформации.
Пружина имеет жёсткость 200 Н/м и растянута на 5 см. Нужно найти её потенциальную энергию. Сначала переводим длину в метры, потому что k задана в Н/м.
Ответ: запасённая энергия равна 0,25 Дж. Небольшая деформация даёт ещё меньшую энергию, поскольку она входит в формулу в квадрате.
При растяжении на 4 см пружина накопила 0,8 Дж. Неизвестна её жёсткость, поэтому из основной формулы нужно выразить k. Деформацию снова переводим в метры.
Ответ: жёсткость пружины равна 1000 Н/м. Большое значение объясняется тем, что 0,8 Дж накоплены при очень малой деформации.
Пружина жёсткостью 500 Н/м сжата на 10 см и выталкивает брусок массой 0,5 кг. Потерями энергии пренебрегаем, поэтому энергия пружины превращается в кинетическую энергию бруска. Нужно найти скорость после разгона.
Ответ: скорость бруска примерно равна 3,2 м/с. В реальной установке скорость была бы меньше из-за трения и деформации бруска.
Сантиметры вместо метров. Так делают, забывая, что жёсткость измеряется в Н/м. Проверьте размерность: перед подстановкой переведите 5 см в 0,05 м.
Формула Eп = kx вместо Eп = kx²/2. Энергию путают с конечной силой упругости kx. Самопроверка проста: сила измеряется в ньютонах, а энергия должна иметь единицу джоуль.
Отрицательная энергия при сжатии. Знак деформации нужен для направления силы, но в энергии стоит квадрат. При одинаковых растяжении и сжатии значение Eп должно совпадать.
Постоянная сила на всём пути. Силу kx нельзя умножать на весь путь, потому что в начале она равна нулю и растёт постепенно. Используйте среднюю силу kx/2 или площадь треугольника под графиком.
Для этой темы нужны понятия работы силы, мощности, потенциальной энергии и закона сохранения энергии. Закон Гука связывает деформацию с силой, а работа объясняет появление запаса энергии.
Формула энергии помогает решать задачи о телах, соединённых с пружинами, и о переходе энергии пружины в кинетическую. Тот же подход используется при изучении гармонических колебаний, маятников и механических систем с упругими элементами.
Почему в формуле потенциальной энергии стоит квадрат деформации?
При деформации сила упругости не постоянна: она возрастает от нуля до kx. Поэтому работа равна площади треугольника под графиком силы, то есть kx²/2.
Почему энергия пружины не бывает отрицательной?
При обычном выборе нулевой энергии для недеформированной пружины Eп = kx²/2, а квадрат x неотрицателен. Отрицательной может быть работа силы упругости при растяжении, но не запасённая энергия.
Можно ли применять формулу Eп = kx²/2 к любой пружине?
Формула справедлива для упругой деформации, при которой выполняется закон Гука: Fупр = kx по модулю. Если пружина деформирована слишком сильно или материал ведёт себя нелинейно, эту формулу применять нельзя.
Чем потенциальная энергия пружины отличается от работы силы упругости?
Потенциальная энергия характеризует состояние деформированной пружины. Работа силы упругости описывает переход между состояниями и при растяжении обычно отрицательна: Aупр = −ΔEп.
Как найти скорость тела, если оно разгоняется за счёт энергии пружины?
Нужно записать закон сохранения механической энергии: kx²/2 = mv²/2, если потерями пренебрегают. Отсюда v = x√(k/m).
3. Потенциальная энергия упругой деформации
