3. Уравнение теплового баланса при наличии фазовых переходов

Определения и обозначения

Фазовый переход — переход вещества из одного агрегатного состояния в другое, например из твёрдого в жидкое. При плавлении и кипении чистого вещества при постоянном давлении температура не меняется: подводимая энергия изменяет состояние вещества. Это понятие помогает отличить фазовый переход от обычного нагревания.

Удельная теплота плавления — количество теплоты, необходимое для превращения 1 кг кристаллического вещества в жидкость при температуре плавления. Её обозначают λ и измеряют в джоулях на килограмм. Это значение позволяет рассчитать энергию плавления вещества любой массы.

Удельная теплота парообразования — количество теплоты, необходимое для превращения 1 кг жидкости в пар при температуре кипения. Её обозначают L и также измеряют в джоулях на килограмм. С этой величиной находят энергию, нужную для испарения или выделяемую при конденсации.

Уравнение теплового баланса — равенство, выражающее, что в теплоизолированной системе отданное тепло равно полученному. При записи можно считать отданную теплоту отрицательной, а полученную — положительной, тогда сумма всех количеств теплоты равна нулю. Уравнение связывает изменения энергии разных тел и помогает найти неизвестную величину.

Как это устроено

При плавлении кристалл получает энергию, но температура вещества не растёт. Эта энергия расходуется на перестройку расположения частиц и ослабление связей, удерживающих их в кристаллической решётке. Поэтому для плавления используют Q = λm, а не формулу нагревания Q = cmΔT.

Во время кристаллизации частицы образуют более упорядоченную структуру, и энергия выделяется наружу. Для той же массы чистого вещества при той же температуре перехода выделяется столько же теплоты, сколько понадобилось бы для плавления. Разница состоит в направлении передачи энергии: при плавлении её получают, при кристаллизации — отдают.

При парообразовании жидкость получает энергию, необходимую для перехода частиц в газообразное состояние. Для массы m количество теплоты рассчитывают по формуле Q = Lm. При конденсации происходит обратный переход: пар отдаёт такую же теплоту, какую поглотил бы при парообразовании той же массы.

Тепловой баланс следует из закона сохранения энергии: в теплоизолированной системе энергия не уходит во внешнюю среду. Поэтому тела, остывая или меняя состояние с выделением теплоты, передают энергию телам, которые нагреваются или плавятся. Удобно записывать сумму теплот с их знаками равной нулю либо отдельно приравнивать отданную теплоту полученной.

Если процесс состоит из нескольких этапов, каждому соответствует своя формула. Например, лёд сначала нагревается до температуры плавления по формуле Q = cmΔT, затем плавится по формуле Q = λm, а полученная вода может нагреваться дальше. Сложив теплоты этапов, получают полное количество энергии, которое нужно внести или которое тело отдаст.

Количество теплоты при нагревании и фазовых переходах

Сначала определите, меняется ли температура или агрегатное состояние: от этого зависит выбор формулы. В формулах m — масса, c — удельная теплоёмкость, ΔT — изменение температуры, λ и L — удельные теплоты переходов. Направление теплообмена учитывайте при составлении баланса, даже если в таблице Q указано как положительная величина.

Разбор задач

Задача 1. Какое количество теплоты нужно, чтобы расплавить 0,20 кг льда, уже нагретого до температуры плавления? Раз лёд уже достиг этой температуры, нагрев до неё считать не нужно. Во время плавления температура остаётся постоянной, поэтому используем удельную теплоту плавления льда λ = 3,3 · 10⁵ Дж/кг.

1. Записываем формулу для плавления: Q = λm.
2. Подставляем значения: Q = 3,3 · 10⁵ · 0,20 = 6,6 · 10⁴ Дж.
3. Переводим результат: 6,6 · 10⁴ Дж = 66 кДж.

Ответ: нужно 66 кДж теплоты. Эта энергия только расплавит лёд, но не нагреет получившуюся воду.

Задача 2. В теплоизолированном сосуде смешали 0,50 кг воды при 40 °C и 0,10 кг льда при 0 °C. Найдём конечную температуру. Сначала проверяем, может ли вода при охлаждении до 0 °C расплавить лёд: она отдаст 0,50 · 4200 · 40 = 84 000 Дж, тогда как плавление льда требует 0,10 · 330 000 = 33 000 Дж. Теплоты достаточно, значит, весь лёд растает.

1. Обозначим конечную температуру T. Тёплая вода отдаёт 0,50 · 4200 · (40 − T) джоулей.
2. Лёд получает 33 000 Дж на плавление, а полученная вода — 0,10 · 4200 · T джоулей на нагрев от 0 °C.
3. Составляем баланс: 0,50 · 4200 · (40 − T) = 33 000 + 0,10 · 4200 · T. Решение даёт T ≈ 20,2 °C.

Ответ: установившаяся температура около 20 °C. Проверка начальной теплоты подтвердила, что лёд полностью плавится, а итоговая температура ниже начальной температуры воды.

Задача 3. В сосуде есть вода массой M при 20 °C, в неё впускают пар при 100 °C. Найдём массу пара m, необходимую для нагревания воды до 60 °C. Каждый килограмм пара сначала конденсируется и выделяет L, затем полученная вода охлаждается от 100 до 60 °C и выделяет c · 40. Исходная вода получает cM · 40.

1. Записываем количество теплоты, полученное исходной водой: Qпол = cM(60 − 20).
2. Записываем выделение теплоты паром: Qотд = mL + cm(100 − 60).
3. Приравниваем величины и выражаем массу: m = 40cM / (L + 40c).

Ответ: масса пара равна 40cM / (L + 40c). Подставьте массу воды и данные для воды из условия; в расчёте учтены и конденсация, и охлаждение конденсата.

Типичные ошибки

Подстановка плавления или парообразования в Q = cmΔT. Так делают, потому что привыкли считать тепло через изменение температуры. Но во время фазового перехода температура постоянна, поэтому ΔT = 0 и эта формула не описывает энергию перехода. Проверьте себя: если в условии говорится о плавлении или кипении при температуре перехода, используйте Q = λm или Q = Lm.

Пропуск одного из этапов процесса. Например, учитывают нагрев льда до 0 °C, но забывают его плавление. Причина — попытка заменить несколько разных процессов одним вычислением. Выпишите этапы по порядку и для каждого укажите формулу: так легче проверить, что энергия перехода тоже учтена.

Считают, что конденсация поглощает теплоту. Это путают с парообразованием, хотя процессы обратны. При конденсации пар отдаёт энергию, поэтому в баланс входит теплота, выделенная при переходе, а также теплота охлаждения конденсата, если он остывает. Проверьте направление процесса: жидкость в пар — тепло поглощается, пар в жидкость — выделяется.

Не проверяют возможность конечного состояния. Можно предположить, что весь лёд растаял, хотя тёплая вода не способна передать нужную для этого энергию. Перед составлением окончательного уравнения сравните доступную теплоту с теплотой плавления. Если её не хватает, часть льда останется и температура смеси будет равна температуре плавления.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны формула Q = cmΔT, понятие удельной теплоёмкости и закон сохранения энергии. Формула нагревания описывает изменение температуры, а теплоты плавления и парообразования — изменение состояния, поэтому в одной задаче могут понадобиться все эти знания. Тепловой баланс объединяет их в одно уравнение.

Метод применяют в задачах о нагревании и охлаждении, плавлении льда, кипении и конденсации пара. Если процесс включает несколько этапов, находят теплоту каждого и учитывают её при обмене энергией. Такой подход пригодится и при анализе тепловых процессов в смесях и теплообменниках.

Что запомнить

• При фазовом переходе чистого вещества его температура не меняется.
• На плавление требуется теплота Q = λm.
• При кристаллизации выделяется теплота Q = λm.
• На парообразование требуется теплота Q = Lm.
• При конденсации выделяется теплота Q = Lm.
• Для теплоизолированной системы отданная теплота равна полученной.
• Если процесс состоит из этапов, теплоту каждого этапа учитывают отдельно.