2. Уравнение теплового баланса без фазовых переходов

Определения и обозначения

Уравнение теплового баланса — запись закона сохранения энергии для тел, обменивающихся теплотой: сумма полученных и отданных количеств теплоты равна нулю. Иначе говоря, сколько энергии одни тела передали, столько другие приняли. Эта запись позволяет связать изменения температуры и найти неизвестную величину в задаче.

Теплоизолированная система — совокупность тел, которая не обменивается теплотой с окружающей средой; теплота передаётся только между телами системы. Это условие позволяет не учитывать передачу энергии наружу или извне. Если сосуд тоже нагревается или охлаждается, он должен входить в выбранную систему.

Удельная теплоёмкость — физическая величина, показывающая, какое количество теплоты требуется для нагревания единицы массы вещества на один градус. Её обозначают c и обычно измеряют в Дж/(кг·°C). Значение зависит от вещества, поэтому одинаковые массы разных веществ при одинаковом изменении температуры могут получить или отдать разное количество теплоты.

Конечная температура — общая температура тел после завершения теплообмена, когда устанавливается тепловое равновесие. Её обозначают, например, t и используют как конечную температуру для каждого тела. Это нужно, чтобы выразить изменение температуры всех участников через одну неизвестную величину.

Как это устроено

При изменении температуры без фазового перехода количество теплоты рассчитывают по формуле Q = cm(t₂ − t₁). Здесь t₁ — начальная, а t₂ — конечная температура тела, поэтому разность температур сразу задаёт направление изменения. Если тело нагревается, t₂ − t₁ положительно и Q положительно; если охлаждается, разность и Q отрицательны. Знак нужен, чтобы при сложении количеств теплоты не перепутать получение энергии с её отдачей.

В теплоизолированной системе энергия не передаётся окружающей среде, поэтому суммарное изменение энергии входящих в неё тел равно нулю. Когда одно тело остывает, оно теряет энергию, а другие тела получают её и нагреваются. Отсюда следует, что отданная теплота по модулю равна полученной. Если система не изолирована и тепло уходит наружу, простой баланс для одних только тел может не сойтись: нужно учитывать окружающую среду или переданную ей энергию.

Уравнение составляют для каждого тела, участвующего в теплообмене, а затем складывают все выражения Q. При алгебраической записи используют знаки: например, у горячего тела Q будет отрицательным, у холодного — положительным, и сумма будет равна нулю. Можно записать тот же смысл через модули: сумму отданной теплоты приравнять сумме полученной. Первый способ удобен тем, что направление теплообмена задаётся прямо разностью температур и меньше риск потерять знак.

Когда тела достигают теплового равновесия, теплообмен между ними прекращается, потому что их температуры становятся одинаковыми. Поэтому конечная температура в выражении Q = cm(t₂ − t₁) одна для всех тел, хотя начальные температуры и теплоёмкости могут различаться. Для каждого участника меняется только его собственная масса, удельная теплоёмкость и начальная температура. Обычно итоговая температура лежит между начальными температурами: без дополнительного источника тепла система не может сама стать горячее самого горячего тела или холоднее самого холодного.

Решение задачи начинают с выбора системы: перечисляют тела, которые обмениваются теплотой, и проверяют, нужно ли включить сосуд. Затем для каждого тела записывают формулу количества теплоты и подставляют общую конечную температуру. Из этих выражений составляют баланс и решают уравнение относительно искомой величины — температуры, массы или удельной теплоёмкости. В конце проверяют единицы измерения, знаки и физический смысл ответа, в частности сравнивают найденную температуру с начальными.

Тепловой баланс тел без фазовых переходов

Сначала определите по изменению температуры, какое тело нагревается, а какое охлаждается. Затем выберите один способ записи: сложить количества теплоты с их знаками или приравнять модули полученной и отданной теплоты. Не смешивайте способы в одном уравнении.

Разбор задач

Вода и алюминиевый брусок

В теплоизолированную воду массой 0,20 кг при температуре 20 °C опускают алюминиевый брусок массой 0,10 кг, нагретый до 80 °C. Найдём установившуюся температуру, используя c воды = 4200 Дж/(кг·°C) и c алюминия = 900 Дж/(кг·°C). Вода нагревается, а брусок остывает, поэтому итоговая температура должна быть между 20 °C и 80 °C.

1. Обозначим общую конечную температуру через t. Для воды Qв = 0,20 · 4200 · (t − 20), а для бруска Qал = 0,10 · 900 · (t − 80).
2. Запишем алгебраический баланс: Qв + Qал = 0. Получаем 840(t − 20) + 90(t − 80) = 0.
3. Раскроем скобки: 930t − 24000 = 0, откуда t = 24000/930 ≈ 25,8 °C. Проверяем: температура выше начальной температуры воды, но ниже температуры бруска.

Ответ: установившаяся температура примерно 25,8 °C. Брусок отдаёт около 4870 Дж, а вода получает примерно столько же. Это согласуется с условием теплоизоляции и подтверждает выбранное направление теплообмена.

Смешивание воды разной температуры

Смешали воду массами m₁ и m₂ с начальными температурами t₁ и t₂, причём t₁ > t₂. Требуется найти температуру смеси; потерь теплоты нет, а теплоёмкостью сосуда пренебрегаем. Горячая вода остывает, холодная нагревается, и обе порции после перемешивания имеют одну температуру t.

1. Запишем количество теплоты для каждой порции: Q₁ = cm₁(t − t₁), Q₂ = cm₂(t − t₂). Одна и та же удельная теплоёмкость c относится к обеим порциям воды.
2. Составим баланс Q₁ + Q₂ = 0. Общий множитель c сократится: m₁(t − t₁) + m₂(t − t₂) = 0.
3. Раскроем скобки и выразим температуру: t(m₁ + m₂) = m₁t₁ + m₂t₂, поэтому t = (m₁t₁ + m₂t₂)/(m₁ + m₂). Проверим, что результат находится между t₂ и t₁.

Ответ: температура смеси равна (m₁t₁ + m₂t₂)/(m₁ + m₂). Более массивная порция сильнее влияет на результат, поскольку при том же изменении температуры она обменивается большим количеством теплоты. Если вычисление даёт температуру за пределами исходного интервала, следует проверить знаки и подстановку величин.

Поиск удельной теплоёмкости неизвестной жидкости

В теплоизолированном сосуде смешали воду массой mв и неизвестную жидкость массой mж. Их начальные температуры равны tв и tж, а установившаяся температура смеси равна t; считаем, что сосуд не участвует в теплообмене. Пусть вода горячее жидкости, тогда вода остывает, а жидкость нагревается. Известны удельная теплоёмкость воды cв и все перечисленные массы и температуры.

1. Запишем выражения: Qв = cвmв(t − tв), Qж = cжmж(t − tж). Неизвестная величина cж входит только в количество теплоты жидкости.
2. Применим баланс Qв + Qж = 0: cвmв(t − tв) + cжmж(t − tж) = 0. Перенесём слагаемое с водой и разделим на mж(t − tж).
3. Получаем cж = cвmв(tв − t)/[mж(t − tж)]. Подставим значения, проверим положительность результата и единицы: масса и разность температур в числителе и знаменателе сокращаются, остаются Дж/(кг·°C).

Ответ: удельная теплоёмкость неизвестной жидкости определяется формулой cж = cвmв(tв − t)/[mж(t − tж)]. При указанных направлениях теплообмена обе разности в этой записи положительны. Отрицательный результат означает, что ошиблись в выборе направления изменений или в знаках уравнения.

Типичные ошибки

Приравнивают количества теплоты, не учитывая, кто нагревается, а кто остывает. Так происходит, если записать формулы только по модулю или потерять знак разности температур. При Q = cm(t₂ − t₁) нагревающееся тело имеет положительное Q, а остывающее — отрицательное. Проверьте каждую разность: её знак должен совпадать с направлением изменения температуры.

Используют разные конечные температуры для тел после теплообмена. Ошибка возникает, когда неизвестную температуру вводят отдельно для каждого участника и не связывают эти значения. В состоянии теплового равновесия тела имеют одну общую температуру. Проверьте уравнение: во всех выражениях для конечного состояния должна стоять одна и та же величина.

Забывают сосуд или другое тело системы. Обычно в расчёт включают только вещества, которые смешивают, хотя сосуд тоже может нагреться или остыть. Тогда часть энергии оказывается неучтённой, и найденный результат может быть неверным. Составьте список всех тел, меняющих температуру; если теплоёмкость сосуда существенна и известна, добавьте отдельное слагаемое.

Применяют Q = cmΔt при фазовом переходе. Эту формулу используют, когда вещество нагревается или охлаждается без смены агрегатного состояния. При плавлении или кипении часть энергии идёт на фазовый переход, а температура может оставаться постоянной. Проверьте условие задачи: если есть плавление, к расчёту добавляют теплоту фазового перехода, а не пытаются описать весь процесс одной формулой cmΔt.

Связь с другими темами

Для решения задач на тепловой баланс нужны формула количества теплоты при нагревании и охлаждении, смысл удельной теплоёмкости и закон сохранения энергии. Эти знания позволяют перейти от описания процесса к уравнению для конкретных тел и вычислить неизвестные величины. Баланс применяют и при изучении фазовых переходов, но тогда учитывают дополнительную теплоту плавления или парообразования. Такой подход помогает разбирать смешивание веществ и тепловые процессы в природе и технике.

Что запомнить

• Для нагревания или охлаждения без фазового перехода Q = cmΔt.
• Теплоизолированная система не обменивается теплотой с окружающей средой.
• Теплота, отданная телами, равна теплоте, полученной другими телами системы.
• При алгебраической записи уравнения теплового баланса сумма всех Q равна нулю.
• После теплообмена тела системы имеют общую конечную температуру.
• В уравнение включают все тела, участвующие в теплообмене.