2. Уравнение теплового баланса без фазовых переходов

Определения и обозначения

Количество теплоты Q — энергия, которую тело получает или отдаёт при теплообмене без изменения агрегатного состояния. Эту величину измеряют в джоулях (Дж). По ней можно сравнить, сколько энергии передали телу при нагревании или сколько оно отдало при охлаждении.

Удельная теплоёмкость c — количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг вещества на 1 °C или 1 K. Её единица измерения — Дж/(кг·°C), а значение зависит от вещества. Эта величина позволяет учитывать, что одинаковые массы разных веществ нагреть одинаково трудно не всегда.

Теплообмен — передача энергии между телами с разной температурой до установления теплового равновесия. Обычно энергия переходит от более горячего тела к более холодному. Понятие теплообмена помогает определить, какие тела будут нагреваться, а какие — охлаждаться.

Уравнение теплового баланса — равенство суммарного количества отданной и полученной теплоты в теплоизолированной системе. При записи со знаками оно имеет вид ΣQᵢ = 0. Это уравнение используют, чтобы найти неизвестную температуру, массу или теплоёмкость.

Как это устроено

При нагревании или охлаждении тела меняется его внутренняя энергия, поэтому требуется посчитать переданную энергию. Для одного и того же вещества количество теплоты пропорционально массе: чтобы нагреть вдвое большую массу на столько же градусов, нужно вдвое больше энергии. Оно также пропорционально изменению температуры и удельной теплоёмкости, откуда получается формула Q = cm(T₂ − T₁). Она применима, пока вещество не меняет агрегатное состояние и теплоёмкость можно считать постоянной.

Разность температур записывают как конечную минус начальную: ΔT = T₂ − T₁. Если тело нагрелось, конечная температура больше начальной, поэтому ΔT и Q положительны. При охлаждении конечная температура меньше начальной, так что обе величины отрицательны. Такой выбор знака удобен: не нужно заранее решать, какое тепло по модулю «отнять» от другого, — направление передачи энергии уже отражено в расчёте.

Закон сохранения энергии требует учитывать всю энергию, переданную телам внутри теплоизолированной системы. То, что одно тело теряет, другие получают; энергия не исчезает и не возникает сама собой. Поэтому сумма количеств теплоты с учётом знаков равна нулю: Q₁ + Q₂ + … = 0. Если использовать только положительные модули, ту же мысль записывают как равенство отданной и полученной теплоты.

Для двух тел записывают Q₁ + Q₂ = 0 и подставляют для каждого Q = cm(Tкон − Tнач). Обычно неизвестной остаётся общая конечная температура, которой тела достигают после обмена энергией. Если тел несколько, добавляют слагаемое для каждого из них: нельзя забывать, например, о жидкости или стенках калориметра, когда их теплоёмкость существенна. Затем решают полученное уравнение, следя за знаками и единицами.

Формула Q = cmΔT описывает нагревание или охлаждение при изменении температуры, но не сам фазовый переход. При плавлении или кипении энергия может расходоваться, хотя температура вещества остаётся постоянной. Поэтому в задаче без перехода достаточно считать теплоёмкость постоянной на рассматриваемом интервале температур. Если агрегатное состояние меняется, отдельно учитывают теплоту плавления, парообразования или конденсации и составляют баланс по этапам.

Количество теплоты и уравнение теплового баланса без фазовых переходов

В таблице знак Q показывает, как меняется энергия конкретного тела: положительный — оно получает энергию, отрицательный — отдаёт. Для теплового равновесия проверяют не отдельные знаки, а сумму всех количеств теплоты.

Разбор задач

Нагревание алюминиевого бруска

Сколько теплоты требуется, чтобы нагреть алюминиевый брусок массой 0,5 кг от 20 °C до 80 °C? Считайте, что фазового перехода нет; удельная теплоёмкость алюминия равна 900 Дж/(кг·°C). Здесь известны масса, теплоёмкость и изменение температуры, значит, достаточно применить формулу для одного тела.

1. Выписываем данные в согласованных единицах: m = 0,5 кг, c = 900 Дж/(кг·°C), Tнач = 20 °C, Tкон = 80 °C.
2. Находим изменение температуры: ΔT = 80 − 20 = 60 °C. Для разности температур перевод в кельвины не требуется.
3. Подставляем в формулу: Q = cmΔT = 900 · 0,5 · 60 = 27 000 Дж.

Ответ: бруску нужно передать 27 000 Дж, или 27 кДж теплоты. Положительный знак соответствует нагреванию.

Нагретое тело опустили в воду

Металлическое тело массой 0,2 кг с теплоёмкостью 450 Дж/(кг·°C) нагрели до 100 °C и поместили в 0,3 кг воды при 20 °C. Найдите конечную температуру, если потерь энергии нет, а теплоёмкость воды равна 4200 Дж/(кг·°C). Металл остывает, а вода нагревается, поэтому их количества теплоты имеют разные знаки.

1. Обозначаем общую конечную температуру через T.
2. Записываем баланс: 0,2 · 450 · (T − 100) + 0,3 · 4200 · (T − 20) = 0.
3. Собираем слагаемые: 90T − 9000 + 1260T − 25 200 = 0, откуда 1350T = 34 200.
4. Находим T = 25,3 °C (округлённо).

Ответ: конечная температура смеси примерно 25,3 °C. Она ближе к начальной температуре воды, потому что вода имеет большую суммарную теплоёмкость, чем металлическое тело.

Поиск неизвестной массы в калориметре

В калориметре смешали 0,2 кг воды при 20 °C, 0,1 кг алюминия при 100 °C и медь при 80 °C. После теплообмена все тела оказались при 30 °C. Найдите массу меди, если cводы = 4200, cалюминия = 900 и cмеди = 390 Дж/(кг·°C), а потерями пренебрегают. Неизвестная масса входит только в слагаемое для меди.

1. Задаём для каждого тела Q = cm(Tкон − Tнач), используя общую конечную температуру 30 °C.
2. Составляем баланс: 0,2 · 4200 · (30 − 20) + 0,1 · 900 · (30 − 100) + m · 390 · (30 − 80) = 0.
3. Считаем известные слагаемые: 8400 − 6300 − 19 500m = 0.
4. Решаем: 19 500m = 2100, поэтому m ≈ 0,108 кг.

Ответ: масса меди примерно 0,108 кг, или 108 г. Положительный результат согласуется с условием; медь, как и алюминий, остывает и отдаёт энергию воде.

Типичные ошибки

• Считают разность температур в °C и K разной. Ошибка возникает из-за того, что показания температурных шкал имеют разные нули. Но для перепада температур один градус Цельсия равен одному кельвину, поэтому ΔT численно одинаково. Проверьте, что вы вычли начальную температуру из конечной; переводить обе температуры в кельвины не требуется.

• Складывают модули количеств теплоты. Тогда знак, показывающий отдачу или получение энергии, теряется, и баланс перестаёт выражать сохранение энергии. Такое часто делают, когда пытаются сразу записать все величины положительными. Проверка: при записи Q = cm(Tкон − Tнач) охлаждающееся тело должно дать отрицательное слагаемое, а нагревающееся — положительное.

• Подставляют несогласованные единицы. Например, масса в граммах при теплоёмкости в Дж/(кг·°C) меняет результат в тысячу раз. Эту ошибку легко допустить, если данные задачи не переписать в СИ. Перед вычислением проверьте, что масса выражена в килограммах, а удельная теплоёмкость — в джоулях на килограмм и градус.

• Используют Q = cmΔT при фазовом переходе. Формула учитывает энергию, связанную с изменением температуры, а при плавлении или кипении температура может не меняться. Ошибка появляется, если принять любой нагрев за обычное повышение температуры. Проверьте, меняется ли агрегатное состояние: если да, добавьте теплоту перехода и разделите процесс на этапы.

Связь с другими темами

Для работы с тепловым балансом нужны формула Q = cmΔT, понятия массы, температуры и удельной теплоёмкости, а также закон сохранения энергии. На этих знаниях строится калориметрия — измерение теплоёмкости и количества переданной энергии с помощью калориметра. Балансы энергии также пригодятся при изучении тепловых машин и оценке энергоэффективности. Когда вы перейдёте к фазовым переходам, в уравнение добавятся теплоты плавления, парообразования и другие энергетические вклады.

Что запомнить

• Количество теплоты при нагревании или охлаждении без фазового перехода рассчитывают по формуле Q = cmΔT.
• При теплообмене энергия переходит от более горячего тела к более холодному.
• В теплоизолированной системе сумма количеств теплоты всех тел равна нулю.
• Количество отданной теплоты по модулю равно количеству полученной теплоты.
• Конечная температура тел после теплообмена обычно находится между их начальными температурами.
• В уравнение баланса нужно включать все тела, участвующие в теплообмене.
• При фазовых переходах одного уравнения Q = cmΔT недостаточно.