§ 39. Газовые процессы

Определения и обозначения

Газовый процесс — изменение состояния газа, описываемое изменением давления p, объёма V и абсолютной температуры T. Эти величины показывают, насколько газ сжат, какое пространство он занимает и насколько нагрет. По ним можно сравнить состояние газа до и после нагревания, сжатия или расширения. Поэтому описание процесса начинается с записи известных значений p, V и T.

Изопроцесс — процесс, при котором один из параметров состояния газа остаётся постоянным. Приставка «изо» означает «равный» или «неизменный», а название процесса уточняет, какой именно параметр фиксирован. Это позволяет исключить постоянную величину из уравнения состояния и получить более простую формулу. Такие формулы помогают решать задачи без поиска неизвестных характеристик газа.

Изотермический процесс — процесс при постоянной температуре; для него выполняется закон Бойля—Мариотта: pV = const. Если газ расширяется, его давление уменьшается, а если сжимается — увеличивается. Произведение давления на объём при этом остаётся прежним. Закон применяют, когда температура не меняется, а масса газа постоянна.

Изобарный и изохорный процессы — процессы соответственно при постоянном давлении и постоянном объёме. При постоянном давлении объём газа связан с температурой, а при постоянном объёме с температурой связано давление. Эти два случая различают по тому, что удерживают неизменным: давление p или объём V. Такое различие подсказывает, какую формулу выбрать в задаче.

Как это устроено

Состояние данной порции идеального газа определяется давлением, объёмом и абсолютной температурой: эти величины входят в уравнение Менделеева—Клапейрона pV = νRT. Здесь ν — количество вещества, а R — универсальная газовая постоянная. Если масса газа неизменна, то ν тоже постоянно, и отношение pV/T сохраняет одно и то же значение. Поэтому изменение одного параметра требует согласованного изменения хотя бы одного из остальных.

Когда один параметр закреплён, уравнение состояния упрощается. Например, при неизменной температуре меняются p и V, но их произведение остаётся постоянным. При постоянном давлении объём меняется вместе с температурой, а при постоянном объёме вместе с температурой меняется давление. Так отдельный закон получается не как новое правило, а как частный случай уравнения состояния.

Для изотермического процесса T₁ = T₂. Из равенства p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ одинаковые температуры сокращаются, и получается p₁V₁ = p₂V₂ — закон Бойля—Мариотта. При неизменной температуре увеличение объёма требует уменьшения давления, чтобы произведение осталось постоянным. Именно поэтому газ, расширяясь, давит на стенки слабее.

Для изобарного процесса p₁ = p₂, поэтому давление сокращается в отношении двух состояний и остаётся V₁/T₁ = V₂/T₂ — закон Гей-Люссака. Для изохорного процесса V₁ = V₂, и получается p₁/T₁ = p₂/T₂ — закон Шарля. В обоих случаях температура и соответствующая ей величина изменяются прямо пропорционально. Это означает, например, что при неизменном объёме повышение абсолютной температуры в полтора раза повышает давление в полтора раза.

Название графика зависит от осей, а не только от самого процесса. В координатах p(V) изотерма — гипербола, потому что p обратно пропорционально V; изобара на тех же осях — горизонтальная линия. В координатах V(T) изобарный процесс изображается прямой через начало координат, а в p(T) такой прямой является изохорный процесс. Температура в этих графиках должна быть абсолютной, иначе прямой пропорциональности не получится.

В газовых законах используют кельвины, потому что они отсчитываются от абсолютного нуля и прямо связаны со средней энергией теплового движения частиц. Шкала Цельсия сдвинута относительно этой точки на 273,15 градуса. Поэтому делить значения в градусах Цельсия или считать их пропорциональными объёму и давлению нельзя. Перед вычислениями переводят температуру по формуле T = t + 273,15.

Основные газовые процессы и их законы

Сначала найдите в условии неизменный параметр, затем выберите соответствующую строку и проверьте, подходят ли к ней известные данные. Если постоянной величины нет, но масса газа сохраняется, используйте строку об объединённом газовом законе. В любой формуле температуры должны быть выражены в кельвинах.

Разбор задач

1. Изотермическое изменение объёма

Газ при постоянной температуре занимал объём 6 л при давлении 100 кПа. Как изменится давление, если объём уменьшить до 4 л? Температура постоянна, значит, процесс изотермический, и применим закон Бойля—Мариотта. Обозначим начальные величины индексом 1, а конечные — индексом 2.

1. Записываем закон: p₁V₁ = p₂V₂. Неизвестно конечное давление p₂, поэтому выражаем его: p₂ = p₁V₁/V₂.
2. Подставляем данные: p₂ = 100 кПа · 6 л / 4 л. Литры сокращаются, поэтому давление получится в килопаскалях.
3. Вычисляем: p₂ = 150 кПа. Объём уменьшился, следовательно, давление должно возрасти — результат согласуется с обратной пропорциональностью.

Ответ: давление увеличится до 150 кПа.

2. Нагревание газа в закрытом сосуде

В закрытом сосуде газ нагрели от 300 до 450 К. Начальное давление равно 80 кПа, найдите конечное давление. Сосуд закрыт и его объём не меняется, поэтому процесс изохорный. Температуры уже даны в кельвинах, значит, дополнительный перевод не нужен.

1. Для изохорного процесса используем p₁/T₁ = p₂/T₂. Выражаем неизвестное давление: p₂ = p₁T₂/T₁.
2. Подставляем: p₂ = 80 кПа · 450 К / 300 К. Кельвины сокращаются, а давление остаётся в килопаскалях.
3. Получаем p₂ = 120 кПа. Температура выросла в 1,5 раза, поэтому при неизменном объёме давление также должно вырасти в 1,5 раза.

Ответ: конечное давление равно 120 кПа.

3. Переход между двумя состояниями

Газ при давлении 120 кПа и температуре 280 К занимает объём 3 л. Определите его объём при давлении 90 кПа и температуре 350 К. Здесь меняются все три параметра, поэтому ни один из законов для отдельного изопроцесса применять нельзя. Если масса газа постоянна, связываем состояния объединённым газовым законом.

1. Записываем p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ и выражаем неизвестный объём: V₂ = p₁V₁T₂/(T₁p₂).
2. Подставляем величины: V₂ = 120 кПа · 3 л · 350 К / (280 К · 90 кПа). Единицы давления и температуры сокращаются, результат выражается в литрах.
3. Вычисляем: V₂ = 5 л. Давление стало меньше, что способствует увеличению объёма; температура стала выше и тоже согласуется с ростом объёма.

Ответ: объём газа составит 5 л.

Типичные ошибки

• Подстановка температуры в градусах Цельсия. Такое делают, потому что температура в условии часто дана в привычной шкале. Но отношения температур должны считаться от абсолютного нуля, а не от нуля Цельсия. Проверьте, что перед вычислением использовали T = t + 273,15 и записали результат в кельвинах.

• Выбор закона без проверки постоянной величины. Можно узнать знакомое название и сразу подставить числа, не заметив, что объём или температура меняются. Тогда формула не описывает условие задачи. Найдите слова «при постоянной температуре», «в закрытом сосуде» или «при постоянном давлении» и сопоставьте их с параметром.

• Путаница между прямой и обратной пропорциональностью. При изотермическом расширении иногда ошибочно считают, что давление тоже растёт. На деле pV постоянно, поэтому рост V требует уменьшения p. Проверка проста: если объём увеличился вдвое, давление должно уменьшиться вдвое.

• Применение закона к разным количествам газа. Формулы сравнения состояний предполагают одну и ту же массу газа, но это условие легко пропустить. Если газ выходит из сосуда или поступает в него, количество вещества меняется и величина pV/T уже не обязана оставаться постоянной. Проверьте, герметична ли система и не сказано ли в условии об утечке или добавлении газа.

Связь с другими темами

Для газовых процессов нужны понятия давления, объёма и абсолютной температуры, а также уравнение состояния идеального газа. Законы применяют, чтобы анализировать работу поршневых механизмов, тепловых машин, компрессоров и газовых баллонов: во всех них газ нагревается, сжимается или расширяется. Далее описание процессов понадобится при изучении первого закона термодинамики, который связывает теплоту, внутреннюю энергию и работу газа. Оно также помогает понять, как устроены тепловые двигатели.

Что запомнить

• Изопроцесс протекает при постоянстве одного из параметров состояния газа.
• При изотермическом процессе произведение давления на объём постоянно.
• При изобарном процессе объём прямо пропорционален абсолютной температуре.
• При изохорном процессе давление прямо пропорционально абсолютной температуре.
• В газовых законах температуру нужно подставлять только в кельвинах.
• Для постоянной массы газа выполняется соотношение pV/T = const.
• Вид графика определяется тем, какие параметры отложены по осям.

Как это устроено