§ 10. Линзы: их свойства и применение

Определения и обозначения

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями. При переходе через эти поверхности свет меняет направление, поэтому форма линзы определяет, будут ли лучи после неё сближаться или расходиться. Это позволяет предсказывать, где образуется фокус и каким получится изображение.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы. Её используют как основную линию на чертеже: относительно неё отмечают линзу, фокусы и предмет. Если лучи идут параллельно этой оси, их поведение после линзы особенно просто описывать.

Оптический центр — точка тонкой линзы, через которую луч проходит практически без изменения направления. На чертеже он служит удобной опорой для построения: луч от предмета через эту точку можно продолжить прямой линией. Приближение работает, когда толщина линзы мала по сравнению с расстояниями до предмета и изображения.

Фокус — точка, где после линзы сходятся лучи, параллельные главной оптической оси, или пересекаются их продолжения. Сходящиеся лучи дают действительный фокус, а пересечение продолжений — мнимый. Фокусное расстояние F — расстояние от фокуса до оптического центра; оно характеризует, насколько сильно линза меняет ход света.

Как это устроено

Если линза толще в середине, чем у краёв, её поверхности обычно отклоняют параллельные лучи к главной оси: лучи сближаются и встречаются в действительном фокусе. Такую линзу называют собирающей. У линзы, более тонкой в середине, лучи после преломления отклоняются от оси; пересекаются не сами лучи, а их продолжения, поэтому линза рассеивающая и её фокус мнимый. Знак F учитывает это различие: для собирающей линзы он положительный, для рассеивающей — отрицательный.

Ход света удобно строить по трём главным лучам, потому что для них результат преломления известен заранее. Луч, шедший параллельно главной оси, после собирающей линзы проходит через фокус, а после рассеивающей расходится так, будто вышел из фокуса. Луч через оптический центр тонкой линзы почти не меняет направление. Луч, направленный до собирающей линзы через её фокус, после неё идёт параллельно оси; для рассеивающей линзы это правило применяют с учётом направления: луч, направленный к фокусу за линзой, выходит параллельно оси.

Изображение возникает там, где после линзы встречаются лучи от одной точки предмета или их продолжения. Если встречаются сами лучи, изображение действительное: его можно получить на экране. Если сходятся лишь продолжения, изображение мнимое и на экране не появляется. Расстояние предмета от линзы по сравнению с F определяет также размер и ориентацию изображения: оно может быть увеличенным или уменьшенным, прямым или перевёрнутым.

Для тонкой линзы расстояния связывает формула 1/F = 1/d + 1/f, где d — расстояние от предмета до линзы, а f — расстояние от линзы до изображения. Здесь принимают d > 0 для реального предмета; f > 0 для действительного изображения и f < 0 для мнимого. Фокусное расстояние F тоже знаковое: положительное у собирающей линзы, отрицательное у рассеивающей. Например, отрицательное значение f показывает, что лучи после линзы не сходятся в точке изображения — сходятся только их продолжения.

Линейное увеличение показывает, во сколько раз высота изображения отличается от высоты предмета: Γ = H/h. При знаковом расстоянии f, которое положительно для действительного изображения и отрицательно для мнимого, Γ = −f/d: модуль отношения задаёт размер, а знак — ориентацию. Отрицательное увеличение означает перевёрнутое изображение, положительное — прямое. Это свойство используют при выборе линз для очков, луп, фотоаппаратов и других оптических приборов.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

В таблице сопоставлены признаки, по которым можно определить тип линзы и предсказать её действие. Знак фокусного расстояния указан для обычной линзы в воздухе. При рассмотрении изображений учитывается реальный предмет.

Разбор задач

Предмет за двойным фокусом

Условие. Нужно построить изображение предмета, расположенного дальше чем на расстоянии 2F от собирающей линзы, и определить его свойства. Обозначим главный фокус F, а предмет поставим слева от линзы за отметкой 2F. Поскольку это собирающая линза, параллельные оси лучи после неё проходят через фокус на противоположной стороне.

1. От вершины предмета проведём луч параллельно главной оси; после линзы он пойдёт через фокус.
2. Проведём второй луч через оптический центр: он продолжится почти прямо.
3. Точка пересечения лучей окажется по другую сторону линзы между F и 2F. Там отметим изображение от главной оси до этой точки.

Лучи пересеклись сами, поэтому изображение действительное. Оно перевёрнутое и уменьшенное: предмет находится дальше 2F, а изображение — между F и 2F. При необходимости это построение можно проверить формулой тонкой линзы, задав конкретные значения d и F.

Ответ: изображение находится между F и 2F за линзой, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное.

Расстояние и увеличение для собирающей линзы

Условие. Предмет стоит в 30 см от собирающей линзы, её фокусное расстояние равно 10 см. Требуется найти расстояние до изображения и линейное увеличение. Предмет реальный, значит d = 30 см, а собирающая линза имеет F = +10 см.

1. Запишем формулу тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f.
2. Подставим числа: 1/f = 1/10 − 1/30 = 2/30 = 1/15, поэтому f = 15 см.
3. Так как f положительно, изображение действительное. Для увеличения используем Γ = −f/d = −15/30 = −0,5.

Расстояние изображения меньше расстояния до предмета, а модуль увеличения равен 0,5. Значит, изображение вдвое ниже предмета; минус у Γ указывает, что оно перевёрнуто. Такой результат согласуется с расположением предмета за двойным фокусом, поскольку 30 см больше 2F = 20 см.

Ответ: изображение находится в 15 см за линзой; Γ = −0,5, изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное в два раза.

Изображение в рассеивающей линзе

Условие. Фокусное расстояние рассеивающей линзы равно −20 см, предмет находится в 30 см от неё. Нужно определить расстояние и свойства изображения. Для реального предмета d = 30 см, а знак F уже показывает, что линза рассеивающая.

1. Используем формулу 1/F = 1/d + 1/f и выразим 1/f: 1/f = 1/F − 1/d.
2. Подставим значения: 1/f = −1/20 − 1/30 = −5/60 = −1/12, значит f = −12 см.
3. Отрицательный знак f означает мнимое изображение на той же стороне линзы, что и предмет. Увеличение Γ = −f/d = −(−12)/30 = 0,4.

Положительный знак увеличения указывает на прямое изображение, а модуль меньше единицы — на уменьшенное. Его высота составляет 0,4 высоты предмета. Поскольку изображение мнимое, поймать его на экране нельзя.

Ответ: изображение находится в 12 см от линзы со стороны предмета; оно мнимое, прямое и уменьшенное в 2,5 раза.

Типичные ошибки

Можно перепутать собирающую и рассеивающую линзы, ориентируясь на название или отдельный видимый луч, а не на форму и действие на параллельный пучок. Направление изгиба поверхности само по себе не всегда достаточно для определения эффекта, если изменяется среда вокруг линзы. Проверьте себя вопросом: параллельные оси лучи после линзы сближаются или расходятся? Сближение означает собирающее действие, расхождение — рассеивающее.

Правило о луче через фокус иногда применяют без учёта направления распространения света. Для собирающей линзы луч, идущий до линзы через ближний фокус, выходит параллельно оси; обратный ход света тоже возможен, но тогда важно проследить луч в обратном направлении. Для рассеивающей линзы формулировку связывают с мнимым фокусом и продолжениями лучей. Проверяйте построение по направлению луча до и после линзы, а не только по точке на оси.

Если подставлять в формулу тонкой линзы только положительные расстояния, мнимое изображение можно ошибочно принять за действительное. Причина в том, что расстояние f — знаковая величина: оно отрицательно, когда изображение образуется пересечением продолжений. До расчёта запишите знаки F, d и f, а после него проверьте, где именно расположено изображение. Знак f должен соответствовать построению лучей.

Увеличение часто считают как простое отношение f/d и забывают, что знак связан с ориентацией изображения. Для знакового расстояния f используйте Γ = −f/d: отрицательный результат соответствует перевёрнутому изображению, положительный — прямому. Модуль Γ показывает только отношение размеров. Для самопроверки сравните знак с построением, а модуль — с высотой изображения на чертеже.

Связь с другими темами

Для понимания линз нужны закон преломления света, представление о световом луче и оптической оси, а также умение строить ход лучей. Преломление объясняет, почему границы линзы меняют направление света; геометрические построения помогают находить изображение. Далее эти знания применяют при изучении оптических приборов и зрения. В частности, понимание фокуса и знаков позволяет объяснить коррекцию близорукости и дальнозоркости с помощью линз.

Что запомнить

• Собирающая линза сводит параллельные главной оси лучи в действительный фокус.
• У рассеивающей линзы фокус мнимый: в нём пересекаются продолжения лучей.
• Луч через оптический центр тонкой линзы практически не меняет направления.
• Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние, расстояние до предмета и расстояние до изображения.
• Изображение может быть действительным или мнимым, прямым или перевёрнутым, увеличенным или уменьшенным.
• Линейное увеличение равно отношению размера изображения к размеру предмета.