§ 9. Законы геометрической оптики

Определения и обозначения

Геометрическая оптика — раздел оптики, в котором распространение света описывают с помощью световых лучей. Такая модель позволяет строить ход света без подробного рассмотрения его волновых свойств. Её используют, когда размеры препятствий и приборов значительно больше длины световой волны.

Световой луч — линия, показывающая направление распространения света. Луч является моделью, а не тонким видимым пучком: в реальности свет распространяется в некоторой области пространства. Модель луча нужна, чтобы на чертеже ясно показать направление и рассчитать траекторию света.

Закон отражения света утверждает: угол отражения равен углу падения, а падающий луч, отражённый луч и перпендикуляр к поверхности лежат в одной плоскости. Оба угла измеряют от этого перпендикуляра. Закон позволяет определить направление света после встречи с зеркалом или другой отражающей поверхностью.

Показатель преломления характеризует изменение скорости света при переходе в среду. Абсолютный показатель равен отношению скорости света в вакууме к скорости в среде: n = c/v. По показателю можно сравнить среды и установить, как изменится направление луча на их границе.

Как это устроено

В однородной прозрачной среде свойства вещества одинаковы в разных точках, поэтому свет не получает причин менять направление и идёт по прямой. Если на его пути поставить непрозрачное тело, оно перекроет часть лучей. За телом возникает область, куда прямой свет не попадает, — тень; её границы связаны с лучами, касающимися препятствия.

Если два луча пересекаются, каждый из них продолжает распространяться так, как распространялся бы без другого. Это принцип независимости световых лучей: в рамках геометрической оптики встреча лучей не означает их столкновения или взаимного изменения направления. Благодаря этому сложный световой пучок можно мысленно разделить на отдельные лучи и рассматривать их по одному.

Чтобы применить закон отражения, сначала проводят перпендикуляр к поверхности в точке падения. Угол падения α образован этим перпендикуляром и падающим лучом, а угол отражения γ — перпендикуляром и отражённым лучом. По закону γ = α, поэтому отражённый луч строят симметрично падающему относительно перпендикуляра.

При переходе через границу скорость света меняется, потому что среды по-разному взаимодействуют со светом. Направление луча поэтому тоже меняется: это преломление. Закон преломления записывают как n₁ sin α = n₂ sin β, где n₁ и α относятся к среде падения, а n₂ и β — к среде, в которую входит луч. Если n₂ больше n₁, луч приближается к перпендикуляру; если n₂ меньше n₁, удаляется от него.

Принцип обратимости означает, что свет может пройти ту же траекторию в противоположную сторону. Если направить луч навстречу отражённому, он вернётся по пути падающего; при преломлении обратный луч также проходит исходный путь в обратном направлении. Это следует из того, что законы отражения и преломления не выделяют предпочтительное направление движения.

Основные законы геометрической оптики

Таблица помогает быстро выбрать закон по ситуации: граница с зеркалом указывает на отражение, граница двух сред — на преломление. Перед подстановкой в формулу проверьте, от какой среды отсчитываются угол и показатель преломления. Для прямолинейного распространения и независимости лучей важны условия, указанные в последнем столбце.

Разбор задач

Условие: луч падает на плоское зеркало под углом 35° к перпендикуляру. Найдите угол отражения и угол между падающим и отражённым лучами. Сначала используем закон отражения, затем учитываем, что падающий и отражённый лучи расположены по разные стороны от перпендикуляра. Поэтому угол между ними складывается из двух равных углов.

1. По закону отражения угол отражения равен углу падения: 35°.
2. Угол между лучами равен 35° + 35° = 70°, поскольку оба луча отсчитываются от общего перпендикуляра в противоположные стороны.

Ответ: угол отражения — 35°, угол между лучами — 70°. Если бы угол в условии был дан к поверхности, сначала пришлось бы вычесть его из 90°.

Условие: луч идёт из воздуха в стекло с показателем преломления 1,5 под углом падения 30°. Найдите угол преломления, считая показатель воздуха равным 1. Стекло имеет больший показатель, значит, луч должен приблизиться к перпендикуляру, и угол преломления будет меньше 30°. Это служит проверкой результата.

1. Записываем закон преломления: n₁ sin α = n₂ sin β.
2. Подставляем данные: 1 · sin 30° = 1,5 · sin β. Так как sin 30° = 0,5, получаем sin β = 0,5/1,5 = 1/3.
3. Находим угол: β = arcsin(1/3) ≈ 19,5°.

Ответ: угол преломления примерно 19,5°. Он меньше угла падения, как и должно быть при переходе из воздуха в стекло.

Условие: луч идёт из стекла с показателем преломления 1,5 в воздух. Найдите предельный угол полного внутреннего отражения и установите, что произойдёт при угле падения 50°. Предельный случай возникает, когда преломлённый луч идёт вдоль границы, то есть β = 90°. Затем сравним заданный угол с найденным и проверим, существует ли преломлённый луч.

1. В предельном случае закон преломления даёт 1,5 sin αпред = 1 · sin 90° = 1.
2. Получаем sin αпред = 1/1,5 = 2/3, поэтому αпред = arcsin(2/3) ≈ 41,8°.
3. Сравниваем углы: 50° больше 41,8°. При таком угле закон потребовал бы sin β = 1,5 sin 50° > 1, а синус не может быть больше единицы.

Ответ: предельный угол примерно 41,8°; при падении под углом 50° преломлённого луча нет, происходит полное внутреннее отражение.

Типичные ошибки

Ошибка: отсчитывать угол падения или отражения от поверхности, а не от перпендикуляра. Так поступают, потому что именно поверхность заметнее на рисунке. Проверьте себя: проведите нормаль в точке падения и убедитесь, что искомый угол лежит между ней и лучом.

Ошибка: считать, что при отражении луч сохраняет тот же угол к поверхности. Равны углы не к поверхности, а к перпендикуляру, поэтому лучи образуют одинаковые углы с нормалью. Для проверки сложите угол луча с нормалью и угол луча с поверхностью: сумма должна составить 90°.

Ошибка: переставлять показатели или углы в законе преломления. Путаница возникает, когда не отмечают, откуда и куда идёт луч. Индексы 1 относятся к среде падения, индексы 2 — к среде, в которую луч входит; подпишите среды у границы до подстановки.

Ошибка: думать, что в более оптически плотной среде луч отклоняется от перпендикуляра. Это происходит, если направление изменения показателя мысленно перепутано. Сравните n₁ и n₂: при n₂ > n₁ угол β меньше α, следовательно, луч приближается к нормали.

Связь с другими темами

Для изучения геометрической оптики нужно представлять, как распространяется свет, и уметь проводить перпендикуляр к поверхности. Измерение углов важно, потому что законы отражения и преломления используют углы относительно нормали. При расчётах понадобится тригонометрия: прежде всего умение находить синус угла и угол по его синусу.

Эти законы становятся основой для изучения плоских зеркал, линз и оптических приборов. С их помощью строят изображения и объясняют, куда направляются лучи в оптической системе. Геометрическая модель позволяет анализировать путь света поэтапно, от одной поверхности к другой.

Что запомнить

• В однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно.
• Световые лучи при пересечении не влияют друг на друга.
• Угол отражения равен углу падения.
• Углы падения, отражения и преломления измеряют от перпендикуляра к границе сред.
• Преломление описывается соотношением n₁ sin α = n₂ sin β.
• Ход светового луча обратим.