§ 18. Законы геометрической оптики

Определения и обозначения

Световой луч — идеализированная линия, указывающая направление распространения света в геометрической оптике. Сам луч не является тонкой светящейся нитью: это удобная модель для описания пути света. Она позволяет строить схемы и определять, куда направится свет после встречи с границей или линзой.

Закон отражения света — правило, связывающее направления падающего и отражённого лучей. Угол отражения равен углу падения, причём оба угла отсчитывают от нормали к поверхности. Закон нужен, чтобы находить направление отражённого луча, например от плоского зеркала.

Закон преломления света — правило изменения направления луча при переходе через границу двух сред. Он связывает углы падения и преломления с оптическими свойствами обеих сред. С его помощью можно определить, куда пойдёт луч в стекле, воде или другой прозрачной среде.

Показатель преломления — величина, характеризующая оптические свойства среды и определяющая изменение скорости и направления света. Абсолютный показатель n = c/v, где c — скорость света в вакууме, а v — в среде. По показателям двух сред судят, насколько изменится направление луча на границе.

Как это устроено

Геометрическая оптика рассматривает свет как лучи, потому что во многих задачах волновые свойства света можно не учитывать. Такое приближение хорошо работает, когда размеры отверстий, препятствий и деталей прибора намного больше длины волны. Тогда дифракция — заметное огибание препятствий световой волной — мала, и путь света можно представить линиями. Если размеры сравнимы с длиной волны, модели лучей может быть недостаточно.

В однородной среде свойства вещества одинаковы в каждой точке, поэтому свет не получает причины менять направление по мере движения. В результате он распространяется прямолинейно. Это объясняет появление чётких теней за непрозрачными предметами, если световой источник достаточно мал. На границе сред условия меняются, и направление луча может измениться.

Чтобы описать встречу луча с границей, в точке падения проводят нормаль — прямую, перпендикулярную поверхности. Угол между падающим лучом и нормалью называют углом падения, между отражённым лучом и нормалью — углом отражения, а между преломлённым лучом и нормалью — углом преломления. Такое соглашение делает формулы независимыми от того, как повернута поверхность. Если отсчитывать угол от поверхности, значения будут другими и их нельзя напрямую подставлять в законы.

При отражении падающий луч, отражённый луч и нормаль лежат в одной плоскости, а угол отражения равен углу падения. Это связано с тем, что гладкая граница не выделяет особого направления вдоль себя: отклонение от нормали при отражении симметрично. Поэтому для построения отражённого луча достаточно отложить от нормали угол, равный углу падения, но по другую сторону от неё. Угол между падающим и отражённым лучами при этом равен удвоенному углу падения.

При переходе в другую среду меняется скорость света, поскольку в веществе электромагнитная волна взаимодействует с его частицами. Направление луча меняется согласно закону Снеллиуса: n₁ sin α = n₂ sin β, где n₁ и n₂ — показатели первой и второй сред, а α и β — углы падения и преломления. Если n₂ больше n₁, луч приближается к нормали; если меньше — удаляется от неё. При переходе из среды с большим показателем в среду с меньшим существует критический угол αкр: sin αкр = n₂/n₁. При углах падения больше критического преломлённый луч исчезает и происходит полное внутреннее отражение.

Основные законы геометрической оптики

В таблице собраны условия и главные следствия основных законов. Для решения задачи сначала определите, какая граница и какие среды рассматриваются, затем выберите соответствующую строку. Все углы в формулах отсчитываются от нормали.

Разбор задач

Задача 1. Луч падает на плоское зеркало под углом 35° к нормали. Определить угол отражения и угол между падающим и отражённым лучами.

1. По закону отражения угол отражения равен углу падения, поэтому он составляет 35°.
2. Нормаль делит угол между лучами на две равные части: каждый луч образует с ней угол 35° по разные стороны.
3. Складываем эти углы: 35° + 35° = 70°.

Ответ: угол отражения равен 35°, угол между лучами — 70°. Проверка здравого смысла: угол между лучами должен быть больше каждого из углов с нормалью в данном случае.

Задача 2. Свет переходит из воздуха в стекло с показателем преломления 1,5 под углом 30° к нормали. Найти угол преломления. Считаем показатель воздуха равным 1.

1. Записываем закон Снеллиуса: n₁ sin α = n₂ sin β. Здесь n₁ = 1, n₂ = 1,5, α = 30°.
2. Подставляем данные: sin β = (1 × sin 30°)/1,5 = 0,5/1,5 = 1/3.
3. Находим угол: β = arcsin(1/3) ≈ 19,5°. Значение меньше 30°, что согласуется с переходом в оптически более плотную среду.

Ответ: угол преломления примерно 19,5° к нормали. Если бы в условии угол был дан к поверхности, сначала пришлось бы заменить его на дополнительный угол к нормали.

Задача 3. Свет идёт из стекла в воздух. Найти предельный угол полного внутреннего отражения и решить, произойдёт ли оно при заданном угле падения. Для численного сравнения рассмотрим угол падения 50°, показатели стекла и воздуха примем равными 1,5 и 1.

1. Проверяем направление перехода: стекло оптически плотнее воздуха, так как 1,5 > 1. Значит, полное внутреннее отражение возможно.
2. На границе критического угла преломлённый луч идёт вдоль поверхности, поэтому sin αкр = nвозд/nстекла = 1/1,5 = 2/3.
3. Получаем αкр = arcsin(2/3) ≈ 41,8°. Сравниваем: 50° > 41,8°, следовательно, луч не выйдет в воздух.

Ответ: критический угол около 41,8°; при падении под углом 50° произойдёт полное внутреннее отражение.

Типичные ошибки

Угол падения или преломления иногда отсчитывают от поверхности, а не от нормали. Так ошибаются, потому что луч зрительно проще сравнить с самой границей, но законы записаны для углов к перпендикуляру. Проверьте схему: нормаль должна образовывать с поверхностью 90°, а используемый угол — находиться между лучом и нормалью.

Другая ошибка — считать, что угол между падающим и отражённым лучами равен углу падения. Закон приравнивает угол падения углу отражения, а два луча расположены по разные стороны от нормали. Поэтому угол между ними равен сумме этих углов, то есть 2α. Самопроверка: при падении под 30° между лучами должно быть 60°.

При преломлении порой применяют правило «луч всегда отклоняется к нормали». Оно верно только при переходе в среду с большим показателем преломления; в менее плотной среде луч отклоняется от нормали. Сначала выясните, где больше n, а затем сравните углы по закону Снеллиуса. Если n₂ > n₁, угол β меньше α.

Условие полного внутреннего отражения иногда используют при переходе из менее оптически плотной среды в более плотную. Это невозможно, поскольку критический угол возникает только при n₁ > n₂: тогда отношение n₂/n₁ меньше единицы. Перед вычислениями проверьте направление распространения и показатели сред; если свет входит в среду с большим n, полного внутреннего отражения нет.

Связь с другими темами

Для изучения законов геометрической оптики нужны понятия скорости света, угла и нормали к поверхности, а также умение пользоваться синусом и обратной функцией arcsin. Законы отражения и преломления применяются при изучении линз, построении изображений и объяснении работы оптических приборов. На них основано понимание действия зеркал, призм, фотоаппаратов и микроскопов. Полное внутреннее отражение используют в волоконно-оптической связи, где свет направляется внутри тонких волокон.

Что запомнить

• В однородной среде свет распространяется прямолинейно.
• Падающий луч, отражённый луч и нормаль к поверхности лежат в одной плоскости.
• Угол отражения равен углу падения.
• При преломлении выполняется равенство n₁ sin α = n₂ sin β.
• При переходе в оптически более плотную среду луч отклоняется к нормали.
• Полное внутреннее отражение возможно только при переходе из более плотной среды в менее плотную.
• Ход светового луча обратим.