§ 19. Линзы

Определения и обозначения

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями, одна из которых может быть плоской. При прохождении через эти поверхности свет меняет направление, поэтому линза может собирать или рассеивать лучи. Именно преломление, а не отражение, определяет её основное действие.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы. На схеме её проводят прямой линией через середину линзы и обычно обозначают горизонтальным направлением. Она нужна как главная линия отсчёта для фокуса и для описания хода лучей.

Оптический центр — точка тонкой линзы, через которую луч проходит практически без изменения направления. На схемах его отмечают на главной оптической оси в центре линзы. Это позволяет строить один из главных лучей без расчёта углов преломления.

Фокус — точка, где после собирающей линзы сходятся лучи, параллельные главной оптической оси, либо где пересекаются их продолжения после рассеивающей линзы. Расстояние от оптического центра до фокуса называют фокусным расстоянием и обозначают F или f. У собирающей линзы оно положительно, у рассеивающей — отрицательно в принятом соглашении о знаках.

Как это устроено

Собирает линза свет или рассеивает его, зависит от кривизны поверхностей и от того, насколько сильно материал преломляет свет по сравнению с окружающей средой. Выпуклые поверхности обычно отклоняют параллельные лучи к главной оси, если линза находится в воздухе и её материал имеет больший показатель преломления. При изменении среды или материала направление действия может измениться, поэтому одной формы недостаточно.

У собирающей линзы разные параллельные оси лучи преломляются так, что их направления постепенно сближаются. Это происходит потому, что на каждой поверхности луч получает отклонение, а симметрия линзы направляет лучи к общей точке — действительному фокусу. У рассеивающей линзы лучи после преломления отклоняются от оси и расходятся, но их обратные продолжения пересекаются в мнимом фокусе.

Для построения изображения используют три главных луча. Луч через оптический центр считают проходящим без отклонения, параллельный главной оси луч после собирающей линзы направляют через фокус, а луч через фокус после линзы идёт параллельно оси. Пересечение преломлённых лучей даёт действительное изображение, а пересечение их продолжений — мнимое.

Положение предмета у собирающей линзы сравнивают с фокусным расстоянием F и двойным фокусным расстоянием 2F. Если предмет дальше 2F, изображение получается между F и 2F, действительным, перевёрнутым и уменьшенным; при положении в 2F оно имеет такой же размер. Между F и 2F изображение возникает дальше 2F и увеличивается, а внутри F оно становится мнимым, прямым и увеличенным.

Количественную связь между положением предмета и изображения задаёт формула тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b. Здесь a — расстояние от линзы до предмета, а b — расстояние от линзы до изображения; знак b показывает, является ли изображение действительным или мнимым. Для увеличения используют Γ = −b/a, поэтому модуль Γ характеризует изменение размера, а отрицательный знак означает перевёрнутое изображение.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

Таблицу удобно использовать сначала для определения типа линзы по ходу параллельного пучка, а затем для проверки знака фокусного расстояния. Форма «толще в середине» верна для простейших линз в воздухе, но не является универсальным критерием. Характер изображения всегда уточняют по построению лучей или по формуле тонкой линзы.

Разбор задач

Задача 1

Параллельный пучок света после прохождения линзы собирается в точке на расстоянии 12 см от неё. Требуется определить вид линзы и фокусное расстояние. Поскольку пучок параллелен главной оси, точка его пересечения является фокусом.

1. Лучи после линзы сходятся, значит, линза является собирающей.
2. Фокусное расстояние равно расстоянию от оптического центра до фокуса: F = 12 см.

Ответ: линза собирающая, её фокусное расстояние F = 12 см.

Задача 2

Предмет находится на расстоянии 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Нужно построить изображение и определить его свойства. Так как 30 см больше 2F = 20 см, изображение должно оказаться между F и 2F.

1. Проводим луч через оптический центр: он идёт прямо.
2. Проводим луч, параллельный оси: после линзы он проходит через фокус.
3. По формуле 1/F = 1/a + 1/b получаем 1/10 = 1/30 + 1/b, откуда 1/b = 1/15 и b = 15 см.
4. Увеличение Γ = −b/a = −15/30 = −0,5.

Ответ: изображение расположено в 15 см за линзой, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное в 2 раза.

Задача 3

Линза с фокусным расстоянием 15 см даёт действительное изображение на расстоянии 60 см. Требуется найти расстояние до предмета и увеличение. Действительность изображения означает, что b = 60 см и оно имеет положительный знак.

1. Подставляем данные в формулу: 1/15 = 1/a + 1/60.
2. Находим 1/a = 1/15 − 1/60 = 3/60 = 1/20, поэтому a = 20 см.
3. Вычисляем увеличение: Γ = −b/a = −60/20 = −3.

Ответ: предмет находится в 20 см от линзы, изображение увеличено в 3 раза и перевёрнуто.

Типичные ошибки

Фокусом иногда считают любую точку пересечения лучей. Но фокус определяют только для лучей, параллельных главной оптической оси, или для их продолжений. Проверка проста: убедитесь, что исходный пучок был параллельным оси.

Собирающую и рассеивающую линзы часто различают только по толщине середины. Такое правило работает для линз в воздухе и при обычном показателе преломления материала, но может нарушиться в другой среде. Надёжнее проверить, сходятся ли или расходятся параллельные лучи.

Луч через оптический центр иногда рисуют с преломлением. В модели тонкой линзы его считают проходящим практически прямо, потому что отклонения на двух поверхностях взаимно компенсируются. Проверьте, что этот луч не меняет направления на схеме.

При подстановке чисел в формулу забывают о знаках и смешивают действительное изображение с мнимым. Заранее выберите соглашение: для собирающей линзы F положительно, а знак b определяет тип изображения. После вычисления сопоставьте результат с построением лучей.

Связь с другими темами

Для понимания линз нужны закон преломления света, понятия падающего и преломлённого лучей, а также правила построения хода света. Линза действует не сама по себе: её свойства объясняются тем, как лучи меняют направление на границе двух сред. Поэтому знание преломления помогает понять, почему форма линзы влияет на результат.

Фокус и фокусное расстояние используются при изучении глаза и очков, где линзы исправляют фокусировку изображения. Те же понятия нужны для анализа микроскопа, телескопа, фотоаппарата и других оптических приборов. Формула тонкой линзы позволяет рассчитывать положение изображения в каждом из таких устройств.

Что запомнить

• Действие линзы основано на преломлении света.
• У собирающей линзы параллельные главной оси лучи сходятся в действительном фокусе.
• У рассеивающей линзы параллельные лучи расходятся, а их продолжения пересекаются в мнимом фокусе.
• Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, практически не меняет направления.
• Изображение строят по пересечению преломлённых лучей или их продолжений.
• Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние с расстояниями от линзы до предмета и изображения: 1/F = 1/a + 1/b.