§ 18. Законы геометрической оптики

Определения и обозначения

Луч света — модель, показывающая направление распространения света. Реальный свет имеет волновую природу, но луч удобно использовать для построения хода света, если размеры препятствий намного больше длины волны.

Закон прямолинейного распространения света утверждает: в однородной прозрачной среде свет распространяется по прямым линиям. Закон нужен, чтобы находить границы тени, строить изображения и определять положение световых пятен.

Закон отражения света: падающий луч, отражённый луч и перпендикуляр к границе в точке падения лежат в одной плоскости, а угол отражения равен углу падения. Углы отсчитывают от перпендикуляра, который называют нормалью.

Закон преломления света описывает изменение направления луча на границе двух сред: падающий луч, преломлённый луч и нормаль находятся в одной плоскости, а их углы связаны законом Снеллиуса: n₁ sin α = n₂ sin β. Здесь n₁ и n₂ — показатели преломления сред, α — угол падения, β — угол преломления.

Как это устроено

Модель лучей позволяет заменить сложное описание световой волны геометрическими построениями. Она работает, когда отверстия и препятствия значительно больше длины волны: тогда дифракция и интерференция почти не влияют на картину. Если размеры сравнимы с длиной волны, свет заметно огибает препятствия, и одной модели лучей уже недостаточно.

Прямолинейное распространение объясняет образование тени: от точечного источника к краям непрозрачного предмета проводят прямые лучи, а область за предметом, куда лучи не попадают, становится тенью. У протяжённого источника разные его точки посылают лучи в разных направлениях. Поэтому за предметом возникают область полной тени и область полутени, куда свет приходит лишь от части источника.

Световые лучи распространяются независимо друг от друга. При пересечении два луча не меняют своих направлений и продолжают движение так, словно другого луча нет. Это позволяет одновременно строить несколько лучей от одного источника и применять к каждому из них законы отражения или преломления.

При отражении от плоской поверхности направление луча меняется из-за взаимодействия с границей, но геометрия процесса симметрична относительно нормали. Если угол падения отсчитывать от нормали, то он равен углу отражения. Поэтому угол между падающим лучом и поверхностью нельзя сразу приравнивать к углу отражения: сначала нужно перейти к углу относительно нормали.

Преломление возникает потому, что в разных средах свет распространяется с разными скоростями. Показатель преломления среды равен n = c/v, где c — скорость света в вакууме, а v — скорость света в данной среде. На границе частота сохраняется, поэтому при изменении скорости меняется длина волны, а направление определяется соотношением n₁ sin α = n₂ sin β: при переходе в среду с большим показателем луч отклоняется к нормали.

Основные законы геометрической оптики

Сначала определите, какое явление происходит и какие среды участвуют в задаче. Затем найдите нормаль и отсчитайте от неё нужный угол, после чего выберите соответствующий закон.

Таблица особенно полезна при построении: она показывает, какую линию провести и какую связь углов применить.

Разбор задач

Тень от непрозрачного предмета

Условие. Непрозрачный предмет освещён точечным источником. Нужно определить направление границ его тени.

1. Точечный источник принимаем за начало световых лучей, а предмет — за препятствие для них.
2. Проводим прямые лучи от источника через верхний и нижний края предмета. За предметом эти лучи образуют границы области, куда свет не попадает.
3. Продолжаем пограничные лучи за предметом до экрана или другой поверхности. Пространство между ними является тенью.

Ответ. Тень направлена от источника за предмет; её границы задаются прямыми лучами, проходящими через края предмета.

Отражение от плоского зеркала

Условие. Луч падает на зеркало под углом к его поверхности. Требуется найти угол отражения и построить отражённый луч.

1. В точке падения проводим нормаль к зеркалу. Она перпендикулярна поверхности, поэтому угол между лучом и нормалью дополняет заданный угол до 90°.
2. Находим угол падения: если угол к поверхности равен θ, то α = 90° − θ.
3. По закону отражения берём угол отражения γ = α и откладываем его по другую сторону нормали, в плоскости падения.

Ответ. Угол отражения равен 90° − θ, а отражённый луч строится симметрично падающему относительно нормали.

Переход из воздуха в стекло

Условие. Луч падает из воздуха на стекло с показателем преломления n₂; угол падения α известен. Нужно найти β и определить направление отклонения.

1. Записываем закон Снеллиуса: n₁ sin α = n₂ sin β. Для воздуха можно взять n₁, близкий к 1.
2. Выражаем угол: sin β = n₁ sin α / n₂, затем вычисляем β по найденному синусу.
3. Сравниваем показатели: поскольку n₂ больше n₁, получается β меньше α. Значит, преломлённый луч отклоняется к нормали.

Ответ. β = arcsin(n₁ sin α / n₂); при переходе из воздуха в стекло луч обычно отклоняется к нормали.

Типичные ошибки

Угол падения и угол отражения иногда отсчитывают от поверхности. Так происходит потому, что поверхность является самой заметной линией на рисунке. Проверьте себя: сначала проведите нормаль, и только угол между лучом и этой нормалью используйте в формуле.

Некоторые считают, что при переходе в другую среду меняется частота. Частоту задаёт источник, поэтому на границе изменяются скорость и длина волны, но не частота. Для проверки используйте связь v = λf: если f постоянна, изменение v означает изменение λ.

Ошибка «луч всегда идёт к нормали» возникает из-за привычного примера перехода из воздуха в стекло. Направление зависит от сравнения показателей преломления: при переходе в среду с большим n луч идёт к нормали, а с меньшим n — от нормали. Сравните n₁ и n₂ до построения луча.

Модель лучей нельзя применять без ограничений, если размеры отверстий или препятствий сопоставимы с длиной волны. В такой ситуации становятся заметны дифракция и другие волновые эффекты. Сначала оцените размеры объектов, а затем решайте, подходит ли геометрическая модель.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны умения проводить перпендикуляр к поверхности и измерять углы относительно него. Нормаль является главным ориентиром при отражении и преломлении.

Связь скорости света в среде с показателем преломления задаётся формулой n = c/v. Она объясняет, почему изменение скорости приводит к изменению направления луча на границе.

Законы геометрической оптики используются при построении изображений в зеркалах и линзах. На них основана работа фотоаппаратов, микроскопов, телескопов и других оптических приборов.

Что запомнить

• В однородной среде свет распространяется прямолинейно.
• Световые лучи распространяются независимо друг от друга.
• Угол падения равен углу отражения.
• Падающий луч, отражённый луч и нормаль лежат в одной плоскости.
• При преломлении выполняется n₁ sin α = n₂ sin β.
• Углы падения, отражения и преломления отсчитывают от нормали.
• На границе сред частота света не меняется.