§ 12. Законы геометрической оптики

Определения и обозначения

Световой луч — линия, показывающая направление распространения света. Это модель геометрической оптики, а не материальная нить и не видимая граница светового пучка. Лучи позволяют строить схемы и предсказывать, куда попадёт свет. Такая модель подходит, когда волновыми эффектами можно пренебречь.

Закон отражения света утверждает, что угол отражения равен углу падения. Падающий луч, отражённый луч и перпендикуляр к поверхности в точке падения лежат в одной плоскости. Углы отсчитывают именно от этого перпендикуляра, или нормали. Закон позволяет определить направление отражённого луча по направлению падающего.

Показатель преломления характеризует отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде: n = c/v. Здесь c — скорость света в вакууме, а v — его скорость в данной среде. Чем больше n, тем меньше скорость света в среде. Эта величина помогает сравнивать оптические свойства сред и рассчитывать преломление.

Закон преломления света связывает падение луча на границу с его направлением после перехода в другую среду. Падающий и преломлённый лучи вместе с перпендикуляром к границе лежат в одной плоскости, а их углы подчиняются закону Снеллиуса: n₁ sin α = n₂ sin β. Здесь α и β — углы падения и преломления, n₁ и n₂ — показатели преломления сред. Закон нужен, чтобы рассчитать новый ход луча.

Как это устроено

Световой луч — упрощённая модель: в реальности свет распространяется как электромагнитная волна, а луч показывает только направление её распространения. Если размеры препятствий и деталей системы значительно больше длины волны, волновые эффекты можно не учитывать. Тогда достаточно проследить геометрический путь луча и определить точки, через которые проходит свет. Поэтому модель особенно удобна при расчёте изображений в зеркалах и линзах.

В однородной среде свойства пространства одинаковы во всех точках, поэтому свет не меняет направление и идёт по прямой. Непрозрачный предмет перекрывает часть лучей, и за ним возникает область, куда свет не попадает, — тень. Если источник света имеет заметные размеры, некоторые точки за предметом освещаются лишь частью его поверхности. Так появляется полутень, граница которой менее резкая, чем у полной тени.

Чтобы измерить угол у границы, сначала отмечают точку падения луча, а затем проводят через неё перпендикуляр к поверхности. Он задаёт направление отсчёта: угол падения образован падающим лучом и нормалью, отражения — отражённым лучом и нормалью, преломления — преломлённым лучом и нормалью. Выбор общей точки и линии отсчёта нужен для корректного сравнения углов. Угол между лучом и самой поверхностью является дополнительным к углу с нормалью: их сумма равна 90°.

При отражении свет остаётся в той же среде, но меняет направление из-за взаимодействия с границей. При этом направление, перпендикулярное поверхности, и направление вдоль поверхности задают плоскость, содержащую падающий луч; отражённый луч оказывается в этой же плоскости. Его угол с нормалью равен углу падения, поэтому построение простое: отразите направление падающего луча относительно нормали. При этом нельзя откладывать угол отражения от поверхности или от падающего луча.

При переходе через границу скорость света меняется, поэтому меняется и направление его распространения. Показатель n = c/v показывает, насколько скорость в среде меньше скорости в вакууме: большему n соответствует меньшая v. Если свет входит в среду с большим показателем преломления, он поворачивает к нормали; если показатель становится меньше — от нормали. Величина поворота определяется законом n₁ sin α = n₂ sin β, а не только тем, что луч пересёк границу.

Сравнение законов отражения и преломления света

Сначала найдите границу и проведите к ней нормаль в точке падения: от неё отсчитываются все указанные углы. Затем определите, какое взаимодействие происходит — отражение или переход в другую среду, — и примените соответствующий закон. Для преломления дополнительно нужны показатели преломления обеих сред.

Разбор задач

Отражение от зеркала

Луч падает на плоское зеркало под углом 35° к перпендикуляру. Нужно найти угол отражения и угол между падающим и отражённым лучами. Угол падения уже дан относительно нормали, поэтому преобразовывать его не требуется.

1. По закону отражения угол отражения равен углу падения: 35°.
2. Падающий и отражённый лучи находятся по разные стороны нормали. Угол между ними равен сумме углов с нормалью: 35° + 35° = 70°.

Ответ: угол отражения — 35°, угол между лучами — 70°. Если бы в условии угол был дан к поверхности зеркала, сначала пришлось бы найти дополнительный до 90° угол к нормали.

Переход из воздуха в стекло

Свет переходит из воздуха в стекло; показатель преломления стекла и угол падения заданы. Требуется найти угол преломления. Считаем показатель воздуха примерно равным 1, а угол падения и показатель стекла обозначаем α и n.

1. Записываем закон Снеллиуса: n₁ sin α = n₂ sin β. Здесь n₁ ≈ 1, а n₂ = n.
2. Выражаем синус искомого угла: sin β = sin α/n. Затем находим β = arcsin(sin α/n).
3. Подставляем значения из условия и вычисляем арксинус. α и β при этом измеряются от нормали к границе.

Ответ: угол преломления равен arcsin(sin α/n); для численного ответа нужны конкретные значения угла и показателя, которых в условии задачи в плане нет. Поскольку n стекла больше показателя воздуха, луч в стекле идёт ближе к нормали, чем падающий.

Плоскопараллельная стеклянная пластина

Луч падает на пластину под заданным углом, а показатель преломления стекла известен. Нужно определить угол внутри стекла и направление выходящего луча. Грани пластины параллельны, поэтому их перпендикуляры тоже параллельны.

1. На первой границе применяем закон Снеллиуса: nвозд sin α = nст sin β. При nвозд ≈ 1 получаем β = arcsin(sin α/nст).
2. Внутри пластины луч идёт под углом β к нормали. На второй границе падающий из стекла луч имеет тот же угол β, поскольку нормали к граням параллельны.
3. Для выхода записываем nст sin β = nвозд sin γ. С учётом первого соотношения получаем sin γ = sin α, значит, для обычных углов γ = α.

Ответ: угол внутри пластины равен arcsin(sin α/nст), а выходящий луч параллелен падающему. Он может быть смещён в сторону: параллельность не означает, что оба луча проходят по одной линии.

Типичные ошибки

Первая ошибка — отсчитывать угол падения от поверхности, а не от перпендикуляра. Так происходит потому, что луч зрительно сравнивают с границей; но в законах используется угол с нормалью. Проверьте схему: нормаль должна проходить через точку падения и образовывать с поверхностью 90°. Если дан угол к поверхности, вычтите его из 90°.

Вторая ошибка — измерять угол отражения от падающего луча. Угол отражения образован отражённым лучом и нормалью, а угол между двумя лучами — другая величина. Их путают, когда на схеме не обозначают перпендикуляр. Для проверки нарисуйте нормаль и отметьте равные углы по обе стороны от неё.

Третья ошибка — неверно переставлять показатели преломления или считать, что луч всегда поворачивает к нормали. В законе Снеллиуса показатель первой среды умножается на синус угла падения, второй — на синус преломления: n₁ sin α = n₂ sin β. Направление отклонения зависит от соотношения показателей: к нормали — при переходе к большему n, от неё — к меньшему. Проверьте, какая среда является первой и какой — второй.

Четвёртая ошибка — изображать падающий и отражённый или преломлённый лучи в разных плоскостях. На объёмном рисунке так может показаться, если перспектива искажает изображение, но каждый закон требует, чтобы лучи и нормаль лежали в одной плоскости. Для самопроверки постройте плоскость падения и поместите в неё все три направления. Если это сделать нельзя, схема противоречит закону.

Связь с другими темами

Для построения нормали и отсчёта углов пригодятся знания о перпендикулярных прямых и геометрических углах. Показатель преломления связывает тему со скоростью света и отношением физических величин: n = c/v. Законы отражения и преломления понадобятся при изучении зеркал и линз, когда нужно строить изображения и находить ход лучей. Значит, точность геометрических построений здесь напрямую влияет на решение оптических задач.

Что запомнить

• В геометрической оптике свет изображают лучами.
• В однородной среде свет распространяется прямолинейно.
• Угол падения и угол отражения отсчитывают от перпендикуляра к поверхности.
• Угол отражения равен углу падения.
• Падающий и преломлённый лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром к границе.
• Преломление связано с изменением скорости света при переходе между средами.