Раздел 2. Геометрическая и волновая оптика

Определения и обозначения

Световой луч — модель, указывающая направление распространения света. Он не является физической нитью или узким предметом: это удобный способ проследить ход световой энергии. Геометрическая оптика применима, когда размеры отверстий и препятствий намного больше длины волны и дифракцией можно пренебречь.

Абсолютный показатель преломления — отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде: n = c/v. Здесь c — скорость света в вакууме, а v — скорость в данной среде. По показателю преломления можно сравнивать скорости света в веществах и предсказывать направление преломлённого луча.

Тонкая линза — линза, толщиной которой в расчётах пренебрегают по сравнению с радиусами её поверхностей. Главный фокус — точка, в которой после линзы собираются лучи, шедшие параллельно главной оптической оси, либо их продолжения. Фокусное расстояние f — расстояние от линзы до главного фокуса; оно помогает определять положение изображения.

Интерференция света — устойчивое усиление и ослабление света при наложении когерентных волн. Когерентные волны имеют одинаковую частоту и постоянную разность фаз. Интерференция позволяет связать яркость в точке с тем, как различаются пути волн до неё.

Дифракция света — отклонение распространения света от прямолинейного при прохождении через отверстия и около препятствий. В обычных условиях эффект может быть мал, но становится заметным при размерах, сравнимых с длиной волны. Это понятие показывает, где лучевая модель перестаёт точно описывать свет.

Как это устроено

В однородной прозрачной среде свойства вещества одинаковы в каждой точке, поэтому свет не получает причины менять направление и распространяется прямолинейно. Лучевая модель позволяет представить путь света линиями и построить изображение как пересечение лучей или их продолжений. Так объясняют работу зеркал и линз, пока волновые эффекты малы. Если препятствие становится сравнимым с длиной волны, лучи уже не описывают картину полностью.

На границе сред часть света отражается, а часть может пройти дальше и преломиться. Угол падения и угол отражения отсчитывают от перпендикуляра к границе, и они равны; направление преломлённого луча определяется также свойствами обеих сред. При переходе в среду, где свет движется медленнее, луч отклоняется к перпендикуляру, а при переходе в более быструю — от него. Поэтому изменение скорости света сопровождается изменением направления, если луч падает не по нормали.

Для построения изображения тонкой линзой достаточно провести главные лучи: параллельный главной оси после собирающей линзы проходит через фокус, а луч через оптический центр в школьной модели почти не меняет направления. Пересечение лучей даёт действительное изображение, а пересечение их продолжений — мнимое. Расстояния связаны формулой тонкой линзы: 1/f = 1/a + 1/b, где a — расстояние до предмета, b — до изображения. Изменение a относительно f меняет положение и характер изображения, поэтому одна и та же линза не всегда даёт действительное изображение.

Волны от двух когерентных источников складываются: в одних точках их колебания усиливают друг друга, в других — ослабляют. При неизменной разности фаз места усиления и ослабления остаются на месте, поэтому возникает устойчивая интерференционная картина. Максимумы соответствуют разности хода Δ = mλ, минимумы — Δ = (m + ½)λ, где m — целое число, а λ — длина волны. Если фазы источников меняются беспорядочно, полосы усредняются и устойчивый рисунок не наблюдается.

У края отверстия или препятствия световая волна распространяется не только в направлении, которое предсказала бы геометрическая модель. Отклонение особенно заметно, когда размер препятствия или отверстия сравним с длиной волны; при намного больших размерах эффект слабее. Дифракция объясняет, почему свет может попадать в область геометрической тени. Поэтому волновая оптика дополняет лучевую там, где прямолинейного хода лучей недостаточно.

Основные явления геометрической и волновой оптики

Таблица помогает выбрать модель явления: лучевую — для зеркал и линз, волновую — для интерференции и дифракции. В столбце с законом ищите условие, которое нужно проверить перед решением задачи. Для преломления и изображения линзой конкретное направление или положение также зависит от числовых данных.

Разбор задач

Плоское зеркало

Условие. Предмет находится на расстоянии d от плоского зеркала. Нужно найти положение изображения и расстояние от предмета до изображения. Числовое значение d не задано, поэтому ответ выразим через него.

1. Проведём лучи от предмета к зеркалу и используем закон отражения: углы падения и отражения равны.
2. Продолжения отражённых лучей за зеркало пересекутся в точке, симметричной предмету относительно плоскости зеркала. Поэтому изображение мнимое и находится на расстоянии d за зеркалом.
3. Предмет и изображение расположены по разные стороны зеркала, значит, расстояние между ними равно d + d = 2d.

Ответ: изображение находится за зеркалом на расстоянии d от него; расстояние между предметом и изображением равно 2d. Проверка: перпендикулярное расстояние от предмета до плоскости зеркала должно совпадать с таким же расстоянием от плоскости до изображения.

Собирающая линза

Условие. Предмет высотой h стоит на расстоянии a от собирающей линзы, фокусное расстояние которой равно f. Требуется определить положение, характер и увеличение изображения. Если заданы конкретные числа, сначала нужно проверить, по какую сторону фокуса расположен предмет.

1. Подставим a и f в формулу тонкой линзы: 1/f = 1/a + 1/b. Отсюда b = af/(a − f); знак и величина b задают положение изображения.
2. Если a > f, то b положительно: изображение действительное и находится по другую сторону линзы. Если 0 < a < f, то b отрицательно: изображение мнимое, расположено со стороны предмета и прямое.
3. Модуль линейного увеличения равен Γ = |b|/a, а высота изображения h′ = Γh. Для действительного изображения оно перевёрнуто, для мнимого — прямое.

Ответ: положение вычисляют по b = af/(a − f), характер определяют по знаку b, а увеличение — по Γ = |b|/a. При a = f параксиальные лучи после линзы идут параллельно, поэтому изображение находится на бесконечности. Построение главными лучами служит проверкой результата расчёта.

Интерференция двух щелей

Условие. На две щели с расстоянием d между ними падает свет длины волны λ, а экран расположен на расстоянии L. Найдём положение ближайшего бокового максимума относительно центрального. Значения величин оставлены буквенными, чтобы формула подходила к любому набору данных.

1. Для максимума разность хода волн должна равняться целому числу длин волн: Δ = mλ. Центральному максимуму соответствует m = 0, ближайшему боковому — m = 1.
2. Из геометрии опыта Δ = d sin θ, где θ — угол направления на максимум относительно перпендикуляра к экрану. Поэтому sin θ = λ/d.
3. Если угол мал, sin θ ≈ tg θ, а геометрически tg θ = y/L. Тогда расстояние от центра до максимума y ≈ λL/d.

Ответ: ближайший боковой максимум расположен на расстоянии примерно y = λL/d от центрального. Приближение малых углов допустимо, если y намного меньше L, а значит, θ мал. Если это условие не выполняется, используют точную связь d sin θ = λ и находят y = L tg θ.

Типичные ошибки

Считать луч физической линией и применять лучевую модель при любых размерах отверстий — значит забывать, что свет имеет волновые свойства. Так делают, потому что в большинстве повседневных ситуаций дифракция незаметна. Проверьте, сравнимы ли размер препятствия и длина волны: если сравнимы, нужно учитывать дифракцию.

Отсчитывать углы падения и преломления от поверхности неверно: их измеряют от перпендикуляра к границе. Путаница возникает потому, что лучи обычно изображают рядом с самой границей. Чтобы проверить себя, сначала проведите нормаль и только затем обозначьте углы между ней и лучами.

Считать, что собирающая линза всегда даёт действительное изображение, — значит не учитывать положение предмета относительно фокуса. Такая ошибка появляется, если запомнить только типичный пример с предметом за фокусом. Подставьте a и f в формулу линзы: при 0 < a < f изображение мнимое, а при a > f — действительное.

Ожидать устойчивую интерференционную картину от любых двух источников тоже ошибочно. У независимых источников фазы меняются беспорядочно, поэтому светлые и тёмные полосы усредняются. Проверьте, когерентны ли волны: у них должны быть одинаковая частота и постоянная разность фаз.

Связь с другими темами

Для изучения оптики пригодятся прямолинейное движение, геометрия углов и треугольников, а также понятия волны, длины волны и частоты. Геометрия помогает строить лучи и находить расстояния до изображений, а свойства волн нужны для объяснения интерференции и дифракции. Если эти понятия знакомы, формулы оптики описывают уже понятную картину.

Законы отражения и преломления используют при изучении зеркал, линз и оптических приборов. Геометрическая оптика позволяет рассчитывать, где прибор создаст изображение, а волновые явления объясняют эффекты, которые не сводятся к построению лучей. Так разные разделы оптики дополняют друг друга.

Что запомнить

• В однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно в пределах применимости лучевой модели.
• Угол отражения равен углу падения; оба угла отсчитывают от перпендикуляра к поверхности.
• Показатель преломления связан со скоростью света в среде отношением n = c/v.
• Изображение, создаваемое линзой, зависит от положения предмета относительно её фокуса.
• Интерференция устойчиво наблюдается при наложении когерентных волн.
• Дифракция особенно заметна, если размер отверстия или препятствия сравним с длиной волны.