§ 11. Решение расчётных и экспериментальных задач по теме «Геометрическая оптика»

Определения и обозначения

Геометрическая оптика — модель, в которой свет распространяется по лучам, то есть направлениям переноса света. Она удобна, когда размеры препятствий и оптических деталей намного больше длины волны света. Модель помогает строить изображения и рассчитывать ход лучей, но не описывает дифракцию и интерференцию, заметные при сравнимых размерах.

Тонкая линза — линза, толщиной которой по сравнению с радиусами её поверхностей можно пренебречь. Фокусное расстояние F — расстояние от оптического центра линзы до главного фокуса, где после линзы сходятся параллельные главной оси лучи или их продолжения. Для собирающей линзы F положительно, а для рассеивающей в принятой знаковой записи — отрицательно; это различие нужно учитывать при расчётах.

Оптическая сила D показывает, насколько сильно линза собирает или рассеивает свет: D = 1/F, если F выражено в метрах. Единица оптической силы — диоптрия (дптр), причём 1 дптр = 1 м⁻¹. Чем меньше модуль фокусного расстояния, тем больше модуль оптической силы.

Линейное увеличение Γ — отношение размера изображения H к размеру предмета h: Γ = H/h. Для действительного изображения по модулю Γ = f/d, где d — расстояние от предмета до линзы, а f — расстояние от линзы до изображения. Увеличение показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета; знак в знаковой записи может указывать на его перевёрнутость.

Как это устроено

Сначала выясняют, какие объекты и процессы даны: зеркало, граница двух сред или линза. Если нужно проследить направление света, применяют законы отражения или преломления; если требуется положение изображения в линзе — формулу тонкой линзы. Лучевая модель подходит для обычных оптических систем, но перестаёт быть достаточной, когда существенны волновые эффекты. Такой выбор модели не даёт применять формулу вне условий, для которых она работает.

Построение начинают с главной оптической оси, положения предмета и элементов системы. В плоском зеркале отражённый луч строят симметрично падающему относительно перпендикуляра, а мнимое изображение получают продолжением отражённых лучей за зеркало. В линзе используют два характерных луча: параллельный главной оси после собирающей линзы проходит через фокус, а луч через оптический центр практически не меняет направления. Пересечение самих лучей даёт действительное изображение, а пересечение их продолжений — мнимое; по нему также судят о размере и ориентации.

Формула 1/F = 1/d + 1/f связывает положение предмета и изображения с фокусным расстоянием, потому что описывает геометрию лучей тонкой линзы. Перед вычислениями нужно назначить обозначения: d — расстояние от предмета до линзы, f — от линзы до изображения, F — фокусное расстояние. Для действительного предмета и изображения обычно берут положительные d и f; если изображение мнимое или линза рассеивающая, используют согласованную знаковую запись, учитывая направление и тип расстояния. Нельзя смешивать соглашения: знаки должны соответствовать выбранной формуле на протяжении всего решения.

Фокусное расстояние собирающей линзы можно оценить по чёткому изображению удалённого объекта на экране. Параллельные лучи от далёкого объекта после линзы сходятся около фокуса, поэтому расстояние от линзы до экрана приблизительно равно F. Для более точного опыта ставят предмет на конечном расстоянии, добиваются резкого изображения и измеряют d и f; тогда F = df/(d + f). Несколько положений предмета позволяют проверить, насколько устойчив результат.

Правдоподобие ответа оценивают не только по арифметике. Сначала приводят величины к согласованным единицам, затем проверяют размерность: в формуле линзы все расстояния должны быть выражены одинаково. Полученное положение и характер изображения сопоставляют с лучевым построением и условиями задачи. В опыте также учитывают точность отсчёта: небольшое смещение экрана меняет резкость и может заметно повлиять на вычисленное F.

Выбор способа решения задач по геометрической оптике

Найдите в таблице тип ситуации, затем используйте указанную формулу или закон и выполните нужное построение либо измерение. Если задача требует нескольких характеристик изображения, расчёт и построение дополняют друг друга. Для экспериментальных данных измерения подставляют в формулу только после проверки единиц.

Разбор задач

Отражение от плоского зеркала

Луч падает на плоское зеркало под углом 35° к перпендикуляру. Нужно найти угол отражения и угол между падающим и отражённым лучами. Угол уже задан относительно нормали — перпендикуляра к поверхности в точке падения. Это важно: угол с поверхностью был бы дополнительным до 90°.

1. По закону отражения угол отражения равен углу падения, поэтому он составляет 35°. Оба угла отсчитываются от перпендикуляра к зеркалу.
2. Падающий и отражённый лучи лежат по разные стороны от перпендикуляра. Угол между ними равен сумме углов: 35° + 35° = 70°.

Ответ: угол отражения — 35°, угол между лучами — 70°. При построении нужно провести перпендикуляр и отложить от него равные углы по разные стороны. Если отсчитывать 35° от поверхности, результат будет неверным.

Изображение в собирающей линзе

Предмет расположен на расстоянии d = 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см. Найдём расстояние до изображения и увеличение, а затем определим его характер. Поскольку предмет находится дальше двойного фокуса, построение заранее подсказывает: изображение должно быть действительным, перевёрнутым и уменьшенным. Вычисление проверит это предположение.

1. Используем формулу тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f. Выразим расстояние до изображения: 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/30 = 2/30, поэтому f = 15 см.
2. Для увеличения берём отношение расстояния до изображения к расстоянию до предмета: |Γ| = f/d = 15/30 = 0,5. Значит, изображение вдвое меньше предмета.
3. Поскольку f положительно, изображение действительное и может быть получено на экране. Для собирающей линзы при d > 2F оно перевёрнутое и уменьшенное, что согласуется с расчётом и построением лучей.

Ответ: изображение находится в 15 см за линзой; |Γ| = 0,5. Оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное в два раза. В расчёте можно оставить сантиметры, так как все расстояния выражены в одинаковых единицах.

Определение фокусного расстояния опытом

Нужно определить фокусное расстояние собирающей линзы, получив чёткое изображение предмета на экране, измерив расстояния до линзы и повторив опыт при другом положении предмета. Простое измерение расстояния до экрана подходит лишь для удалённого объекта, а с предметом на конечном расстоянии нужно учесть и d, и f. Повторение помогает отличить устойчивый результат от случайной ошибки наводки.

1. Закрепляем предмет, линзу и экран на одной линии и перемещаем экран или линзу, пока изображение не станет чётким. Измеряем d от предмета до оптического центра линзы и f от линзы до экрана.
2. Для каждого опыта вычисляем F = df/(d + f). Например, если d = 30 см, а f = 15 см, то F = 30 · 15/(30 + 15) = 10 см.
3. Меняем положение предмета, снова наводим резкость и повторяем измерения. Сравниваем полученные значения F; при заметном расхождении проверяем резкость, отсчёты и положение центра линзы.

Ответ опыта — среднее или наиболее согласованное значение фокусного расстояния с учётом точности измерений. Если затем нужна оптическая сила, переводим F в метры: при F = 0,10 м получаем D = 1/0,10 = 10 дптр. Запись единиц позволяет избежать ошибки при переходе от сантиметров к диоптриям.

Типичные ошибки

Подстановка расстояний в сантиметрах в формулу, где результат ожидают в метрах, приводит к ошибке в сто раз при переводе единиц. Так происходит, когда числа подставляют без предварительной проверки размерности. До вычислений приведите все расстояния к одной единице, а перед ответом проверьте, в каких единицах записано искомое значение.

Угол падения иногда отсчитывают от поверхности, хотя законы отражения и преломления используют угол от перпендикуляра к границе. Путаница возникает потому, что лучи изображают рядом с поверхностью и угол визуально легко принять за нужный. Нарисуйте нормаль в точке падения и отметьте угол именно между ней и лучом; для угла с поверхностью проверьте, что пара углов в сумме даёт 90°.

Фокусное расстояние и оптическую силу путают, потому что обе величины характеризуют линзу. Но они связаны обратной зависимостью: короткому F соответствует большая D, а не такая же по величине. Проверьте, что использовали D = 1/F и перевели F в метры; ответ для оптической силы должен быть выражен в диоптриях.

Характер изображения нельзя надёжно определять только по знаку ответа или одному схематичному рисунку. Знак зависит от принятого соглашения, а неточное построение может скрыть положение пересечения лучей. Сверьте расчёт с двумя характерными лучами и условиями задачи: где находится предмет относительно фокуса, можно ли получить изображение на экране, прямое оно или перевёрнутое.

Связь с другими темами

Для решения нужны знания о прямолинейном распространении света, отражении и преломлении, а также навык строить изображение лучами. Математическая часть опирается на пропорции, преобразование формул и перевод единиц длины. Правила округления помогают корректно представить результат опыта с учётом точности измерений. Эти способы построения и анализа пригодятся при изучении оптических приборов, а ограничения лучевой модели станут важны при переходе к волновой оптике.

Что запомнить

• Угол падения и угол отражения отсчитывают от перпендикуляра к поверхности.
• Для тонкой линзы используют формулу 1/F = 1/d + 1/f.
• Оптическая сила линзы D = 1/F, если F выражено в метрах.
• Линейное увеличение связано с отношением размеров изображения и предмета.
• Построение лучей помогает проверить расчёт и охарактеризовать изображение.
• В эксперименте важно повторять измерения и оценивать их согласованность.