§ 12. Решение задач по теме «Первый закон термодинамики»

Определения и обозначения

Первый закон термодинамики — связь между изменением внутренней энергии тела, полученным количеством теплоты и работой, совершённой телом: ΔU = Q − A. Здесь A обозначает работу самого газа, а не внешних сил. Закон нужен, чтобы проследить, куда расходуется переданная энергия.

Работа газа — работа, которую газ совершает при изменении объёма; при расширении она положительна, при сжатии — отрицательна. Это соглашение о знаках позволяет использовать одну формулу для обоих направлений изменения объёма. Поэтому перед расчётом важно выяснить, расширяется газ или сжимается.

Количество теплоты Q — энергия, переданная телу при теплообмене; полученная телом теплота считается положительной, отданная — отрицательной. Теплообменом называют передачу энергии от более горячего тела к более холодному. Знак Q показывает, получает ли выбранная система энергию таким способом или отдаёт её.

Изменение внутренней энергии ΔU — разность внутренней энергии тела в конечном и начальном состояниях. Оно зависит от начального и конечного состояний, а не от пути между ними. Эта величина показывает итоговое изменение энергии системы после процесса, поэтому её можно находить по первому закону.

Как это устроено

Первый закон термодинамики следует из закона сохранения энергии. Если газ получает энергию в виде теплоты, она не исчезает: часть может увеличить внутреннюю энергию, а часть — перейти в работу, которую газ совершает над окружающими телами. Поэтому полученная теплота Q равна сумме изменения внутренней энергии и работы газа, что записывается как ΔU = Q − A.

Знак работы зависит от того, что именно названо работой. В этой теме A — работа самого газа: при расширении он толкает окружающие тела, поэтому A > 0. При сжатии окружающие тела действуют на газ, и работа газа отрицательна; такую договорённость соблюдают, чтобы формула не менялась от задачи к задаче.

Для решения сначала выбирают систему — обычно это газ, о котором говорится в условии. Затем определяют, получает он теплоту или отдаёт её, расширяется или сжимается, и задают знаки Q и A. Только после этого подставляют значения в закон: так легче заметить, если знак противоречит описанному процессу.

При изохорном процессе объём постоянен, значит, газ не перемещает границу системы и работы расширения или сжатия не совершает. Поэтому A = 0, и вся полученная теплота идёт на изменение внутренней энергии: ΔU = Q. Если газ отдаёт теплоту, Q и ΔU будут отрицательными.

У идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому при постоянной температуре ΔU = 0. Тогда теплота компенсирует работу газа: Q = A. При адиабатическом процессе, напротив, теплообмена нет и Q = 0; внутренняя энергия меняется за счёт работы, так что ΔU = −A.

Первый закон термодинамики для разных процессов

Сначала найдите в условии признак процесса: постоянство объёма, температуры или давления, либо отсутствие теплообмена. Затем выберите соответствующую строку и используйте упрощённую связь величин. Для работы при постоянном давлении учитывайте знак ΔV: при расширении изменение объёма положительно.

Разбор задач

Нагревание газа при постоянном объёме

Газ нагрели при постоянном объёме и сообщили ему 500 Дж теплоты. Определите изменение внутренней энергии газа. Объём не меняется, значит, работа газа равна нулю. Заданная теплота положительна, так как газ её получил.

1. Изохорный процесс: V = const, следовательно, A = 0.
2. Подставим значения в первый закон: ΔU = Q − A = 500 Дж − 0.
3. Получаем ΔU = 500 Дж: вся переданная энергия пошла на изменение внутренней энергии.

Ответ: внутренняя энергия увеличилась на 500 Дж.

Расширение при постоянном давлении

Газ при постоянном давлении 2,0 · 10⁵ Па расширился на 3,0 · 10⁻³ м³ и получил 900 Дж теплоты. Нужно найти работу и изменение внутренней энергии. Расширение означает ΔV > 0, поэтому работа газа будет положительной. Работа при постоянном давлении вычисляется как A = pΔV.

1. Находим работу: A = 2,0 · 10⁵ · 3,0 · 10⁻³ = 600 Дж.
2. Подставляем Q = 900 Дж и A = 600 Дж: ΔU = Q − A.
3. Вычисляем: ΔU = 900 − 600 = 300 Дж.

Ответ: работа газа равна 600 Дж, внутренняя энергия увеличилась на 300 Дж.

Определение изменения энергии и теплоты

В первом процессе газ получил 700 Дж теплоты и совершил работу 250 Дж. Во втором газ сжали, совершив над ним работу 120 Дж, а внутренняя энергия уменьшилась на 80 Дж. В первом случае работа самого газа уже дана, а во втором дана работа внешних сил. Нужно различить эти величины и учесть их знаки.

1. Для первого процесса: ΔU₁ = Q₁ − A₁ = 700 − 250 = 450 Дж.
2. Во втором процессе работу совершают над газом, поэтому работа самого газа A₂ = −120 Дж. Также ΔU₂ = −80 Дж.
3. Из ΔU₂ = Q₂ − A₂ получаем Q₂ = ΔU₂ + A₂ = −80 + (−120) = −200 Дж.

Ответ: в первом процессе ΔU₁ = 450 Дж; во втором Q₂ = −200 Дж, то есть газ отдал 200 Дж теплоты.

Типичные ошибки

• Подставлять работу внешних сил как работу газа, не меняя знак. Путаница возникает потому, что в условии часто сказано, что «над газом совершили работу», хотя формула использует A газа. Проверьте, кто действует на кого: при сжатии работа газа отрицательна.

• Считать работу газа ненулевой при постоянном объёме. Это происходит, если забыть, что работа расширения связана с изменением объёма. Проверьте условие: при V = const имеем ΔV = 0 и A = 0.

• Думать, что при адиабатическом процессе внутренняя энергия не меняется. Ошибка возникает из-за смешения отсутствия теплообмена с отсутствием любых энергетических изменений. Проверьте условие Q = 0 и примените ΔU = −A: работа всё ещё может менять внутреннюю энергию.

• Принимать изменение внутренней энергии за количество теплоты. Эти величины связаны, но работа тоже влияет на энергетический баланс. Для самопроверки подставьте Q и A в ΔU = Q − A и убедитесь, что равенство выполняется.

Связь с другими темами

Для задач нужны знания о внутренней энергии идеального газа, количестве теплоты и работе газа, а также правила знаков физических величин. При постоянном давлении работа находится по формуле A = pΔV, поэтому важно уметь вычислять изменение объёма и следить за единицами измерения. Первый закон затем помогает анализировать работу тепловых двигателей и превращения энергии в тепловых процессах.

Что запомнить

• Первый закон термодинамики: ΔU = Q − A, если A — работа газа.
• При расширении газа A > 0, при сжатии A < 0.
• При изохорном процессе A = 0 и ΔU = Q.
• Для идеального газа при изотермическом процессе ΔU = 0.
• При адиабатическом процессе Q = 0 и ΔU = −A.
• При постоянном давлении работа газа равна A = pΔV.