16. Уравнение свободных гармонических колебаний в контуре. Формула Томсона

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь с конденсатором и катушкой индуктивности. Конденсатор накапливает заряд и энергию электрического поля, а катушка создаёт магнитное поле при протекании тока. Вместе эти элементы обеспечивают обмен энергией, поэтому контур может совершать электромагнитные колебания.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока после начального возбуждения контура, без внешнего периодического воздействия. Слово свободные указывает, что дальнейшее изменение системы поддерживается её собственными запасами энергии. Это понятие помогает отличать такие колебания от вынужденных, которые поддерживает внешний источник.

Собственная циклическая частота — величина, задающая скорость свободных колебаний контура; её обозначают ω₀ и измеряют в рад/с. Она показывает, насколько быстро меняется фаза колебаний, а не просто число полных циклов за секунду. Зная ω₀, можно записать уравнение заряда и определить период.

Формула Томсона связывает период собственных колебаний с ёмкостью конденсатора и индуктивностью катушки: T = 2π√(LC). Здесь T — время одного полного цикла, C — ёмкость, L — индуктивность. Формула позволяет рассчитать период или найти неизвестную характеристику контура.

Как это устроено

Представим, что конденсатор сначала зарядили и затем замкнули контур. Заряды на его обкладках начинают перемещаться, поэтому появляется ток, а запас электрической энергии уменьшается. Но ток не может мгновенно исчезнуть: при его изменении катушка создаёт индукционное напряжение, которое препятствует резкому изменению тока. Благодаря этому движение зарядов продолжается и после разрядки конденсатора.

Когда конденсатор разрядился, ток в катушке не обрывается сразу и продолжает переносить заряд, теперь накапливая его на обкладках с противоположной полярностью. По мере ослабления тока убывает энергия магнитного поля, зато растёт энергия электрического поля конденсатора. Затем процесс повторяется в обратном направлении. В идеальном контуре потерь нет, поэтому сумма энергий электрического и магнитного полей остаётся постоянной.

Периодическое изменение заряда описывают гармонической функцией: q = qₘ cos(ω₀t + φ₀). Амплитуда qₘ — наибольший по модулю заряд, а начальная фаза φ₀ зависит от того, в каком состоянии контур находился в момент t = 0. Если в начале конденсатор максимально заряжен и ток равен нулю, удобно взять φ₀ = 0. Иные начальные условия меняют амплитуду и фазу, но не сам вид гармонического закона.

Сила тока показывает, как быстро меняется заряд, поэтому i = dq/dt. Если q = qₘ cos(ω₀t + φ₀), то i = −ω₀qₘ sin(ω₀t + φ₀): при максимальном заряде ток равен нулю, а при прохождении заряда через ноль модуль тока максимален. Синус и косинус отличаются сдвигом аргумента на π/2, что соответствует четверти периода. Так объясняется фазовый сдвиг между изменениями заряда и тока.

Для идеального контура уравнение колебаний приводит к соотношению ω₀² = 1/(LC), откуда ω₀ = 1/√(LC). Поскольку период гармонического движения связан с циклической частотой формулой T = 2π/ω₀, получаем T = 2π√(LC) — формулу Томсона. Чем больше индуктивность или ёмкость, тем медленнее меняется состояние контура и тем больше период. Эта связь применима к собственным колебаниям идеального контура.

Величины и соотношения при свободных колебаниях в идеальном контуре

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите подходящую строку. Если известны L и C, используйте формулу Томсона; если дано уравнение заряда, найдите ток дифференцированием. Обозначения qₘ и ω₀ помогают отделить максимальный заряд от текущего значения.

Разбор задач

Задача 1. В идеальном контуре ёмкость конденсатора C = 4,0 мкФ, а индуктивность катушки L = 25 мГн. Найдём период свободных колебаний. До подстановки переведём величины в СИ: это исключит ошибку в степени десяти. Воспользуемся формулой Томсона, поскольку известны оба параметра контура.

1. Записываем формулу: T = 2π√(LC).
2. Переводим единицы: C = 4,0·10⁻⁶ Ф, L = 25·10⁻³ Гн.
3. Подставляем: T = 2π√(25·10⁻³ · 4,0·10⁻⁶) = 2π·10⁻⁴ с.

Ответ: T ≈ 6,3·10⁻⁴ с. Проверка размерности: произведение LС имеет размерность секунды в квадрате, а корень из него — секунды.

Задача 2. Период колебаний равен T = 2,0 мс, ёмкость конденсатора C = 5,0 мкФ. Определим индуктивность катушки. Здесь неизвестно L, поэтому сначала преобразуем формулу Томсона, а затем подставим значения в единицах СИ. Квадрат периода даст множитель 4π², который нельзя пропускать.

1. Исходное соотношение: T = 2π√(LC).
2. Возводим обе части в квадрат и выражаем L: T² = 4π²LC, значит L = T²/(4π²C).
3. Переводим единицы и считаем: L = (2,0·10⁻³)²/(4π²·5,0·10⁻⁶) ≈ 2,0·10⁻² Гн.

Ответ: L ≈ 20 мГн. Результат порядка сотых долей генри согласуется с миллигенри, так как 1 Гн = 1000 мГн.

Задача 3. Заряд конденсатора меняется по закону q = 3,0·10⁻⁶ cos(1000t) Кл. Найдём силу тока при t = π/2000 с и момент её максимума. Коэффициент при косинусе — амплитуда заряда, а коэффициент при t — циклическая частота. Ток следует получать производной, а не подстановкой заряда в отдельную формулу для максимума.

1. Дифференцируем: i = dq/dt = −3,0·10⁻³ sin(1000t) А.
2. Подставляем заданный момент: 1000t = π/2, поэтому i = −3,0·10⁻³ А.
3. Максимальный по модулю ток достигается при |sin(1000t)| = 1, то есть 1000t = π/2 + πk, где k — целое число.

Ответ: при заданном моменте i = −3,0 мА; модуль тока максимален при фазе π/2 + πk. Знак минус указывает направление тока относительно выбранного положительного направления.

Типичные ошибки

Путают циклическую частоту ω₀ и обычную частоту ν, потому что обе величины описывают быстроту колебаний. Однако ω₀ измеряется в рад/с, а ν — в герцах; между ними ω₀ = 2πν. Проверьте единицы и уточните, какая частота дана в условии, прежде чем подставлять её в формулу.

Записывают период как √(LC), теряя множитель 2π при переходе от циклической частоты к периоду. Ошибка появляется, если помнить выражение для ω₀, но не использовать T = 2π/ω₀. Самопроверка: из формулы Томсона период должен содержать 2π, а размерность результата при этом остаётся секундой.

Оставляют микрофарады и миллигенри без перевода в СИ. При вычислении произведения LC приставки дают большие ошибки в степенях десяти, поэтому ответ может отличаться на несколько порядков. Перед подстановкой запишите C в фарадах и L в генри, а после вычисления оцените, реалистичен ли период для полученных параметров.

Считают, что заряд и ток одновременно достигают максимумов. Это неверно: ток равен производной заряда и потому сдвинут по фазе на четверть периода. Проверьте себя на точке максимального заряда: график q в этот момент имеет горизонтальную касательную, следовательно, i = dq/dt = 0.

Связь с другими темами

Для чтения уравнения q = qₘ cos(ω₀t + φ₀) нужны знания о гармонических колебаниях, периоде, частоте и фазе. Связь i = dq/dt опирается на представление о силе тока как скорости переноса заряда. Обмен энергией в контуре связан с законом сохранения энергии, а также с формулами энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки.

Формула Томсона понадобится при изучении резонанса и вынужденных электромагнитных колебаний. Она также помогает выбирать параметры контура для получения нужного периода или частоты. Поэтому связь между L, C и T важна для понимания настройки колебательных систем.

Что запомнить

• В идеальном контуре свободные колебания происходят без внешнего периодического воздействия.
• Заряд конденсатора при гармонических колебаниях описывается формулой q = qₘ cos(ω₀t + φ₀).
• Сила тока равна производной заряда по времени: i = dq/dt.
• Собственная циклическая частота контура ω₀ = 1/√(LC).
• Период свободных колебаний определяется формулой Томсона: T = 2π√(LC).
• Чем больше L или C, тем больше период собственных колебаний.