35. Принцип Гюйгенса. Законы отражения и преломления световых волн

Определения и обозначения

Принцип Гюйгенса утверждает: каждая точка волнового фронта становится источником вторичных волн, а новый фронт представляет собой огибающую этих волн. Огибающая касается вторичных волн и показывает их общий передний край. Принцип нужен, чтобы находить положение фронта спустя заданное время и объяснять изменение направления распространения волны.

Волновой фронт — поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой фазе, то есть находятся на одинаковой стадии колебания. Направление распространения волны перпендикулярно фронту и задаётся лучом. Это позволяет перейти от построения фронта к определению направления светового луча.

Закон отражения света: отражённый луч лежит в плоскости падения, а угол отражения равен углу падения. Плоскость падения проходит через падающий луч и перпендикуляр к границе в точке падения. Равенство углов позволяет однозначно определить, куда пойдёт луч после отражения.

Закон преломления света: падающий и преломлённый лучи лежат в плоскости падения, а их углы связаны равенством n₁ sin α = n₂ sin β. Здесь α — угол падения в среде 1, β — угол преломления в среде 2, n₁ и n₂ — показатели преломления этих сред. Формула показывает, как свойства сред определяют направление луча после пересечения границы.

Как это устроено

Чтобы построить фронт в более поздний момент, сначала отмечают его положение в начальный момент. Каждую точку этого фронта считают источником вторичной волны, которая за время Δt проходит расстояние vΔt, где v — скорость волны в среде. Затем проводят поверхность, касающуюся всех вторичных волн: это и есть новый фронт. Такой способ работает потому, что колебания от разных точек распространяются одновременно, а их общий передний край задаёт положение волны.

При отражении фронт падающей волны достигает границы постепенно: сначала её пересекает одна точка, затем соседние. Каждая точка границы, до которой дошло возмущение, становится источником вторичной волны в той же среде. Огибающая этих волн образует отражённый фронт; геометрия построения даёт равные прямоугольные треугольники для падающего и отражённого участков фронта. Поэтому углы, которые их лучи образуют с перпендикуляром к границе, равны, а отражённый луч остаётся в плоскости падения.

При переходе через границу вторичные волны распространяются уже в другой среде. Их скорость может отличаться от скорости в первой среде, поэтому за одинаковое время участки фронта проходят разные расстояния. Фронт поворачивается, а вместе с ним меняется перпендикулярное ему направление луча — это и есть преломление. Частота при переходе сохраняется, так как колебания по обе стороны границы должны согласованно продолжать колебания источника.

Качественно направление преломления определяется скоростью во второй среде. Если скорость становится меньше, та часть фронта, которая первой вошла в новую среду, продвигается медленнее; фронт поворачивается так, что луч приближается к перпендикуляру. При большей скорости во второй среде луч, наоборот, отклоняется от перпендикуляра. Количественно это описывает закон n₁ sin α = n₂ sin β: при большей оптической плотности среды показатель преломления больше, а угол луча с перпендикуляром обычно меньше.

Углы α и β измеряют не от поверхности, а от перпендикуляра к границе в точке падения. Если обозначить угол относительно поверхности, он будет дополнительным к нужному углу: например, при 30° к перпендикуляру это 60° к поверхности. Перпендикуляр служит общей исходной линией для падающего, отражённого и преломлённого лучей. Поэтому перед подстановкой в закон нужно проверить, от какой линии дан угол в условии.

Отражение и преломление световых волн

Сопоставляйте сначала, остаётся ли свет в исходной среде или переходит в новую: это помогает выбрать нужный закон. Для отражения сравнивают углы, а для преломления учитывают также показатели преломления. В обоих случаях углы отсчитывают от перпендикуляра, а частота света сохраняется.

Разбор задач

Отражение от плоского зеркала

Луч падает на зеркало под углом 35° к перпендикуляру. Нужно найти угол отражения и угол между падающим и отражённым лучами. Важно различать угол между лучом и перпендикуляром и угол между двумя лучами: это разные величины.

1. Угол падения α = 35°, поскольку в условии он уже дан относительно перпендикуляра.
2. По закону отражения угол отражения равен углу падения: β = α = 35°.
3. Падающий и отражённый лучи находятся по разные стороны от перпендикуляра, поэтому угол между ними равен α + β = 35° + 35° = 70°.

Ответ: угол отражения — 35°, угол между лучами — 70°. Сложение углов подходит потому, что перпендикуляр лежит внутри угла между лучами.

Переход из воздуха в стекло

Свет идёт из воздуха в стекло с показателем преломления 1,5 под углом 30° к перпендикуляру. Найдём угол преломления, считая показатель преломления воздуха равным 1. В стекле свет распространяется медленнее, поэтому ожидаем отклонение луча к перпендикуляру и угол меньше 30°.

1. Записываем закон преломления: n₁ sin α = n₂ sin β.
2. Подставляем значения: 1 · sin 30° = 1,5 · sin β. Так как sin 30° = 0,5, получаем sin β = 0,5/1,5 = 1/3.
3. Находим угол: β = arcsin(1/3) ≈ 19,5°. Берём острый угол, соответствующий преломлённому лучу в стекле.

Ответ: угол преломления приблизительно равен 19,5°. Он меньше угла падения, как и должно быть при переходе в среду с большей оптической плотностью.

Полное внутреннее отражение на границе стекла и воздуха

Луч идёт из стекла в воздух; показатель преломления стекла равен 1,5, а воздуха — примерно 1. Требуется найти угол падения, при котором преломлённый луч идёт вдоль границы. При больших углах падения преломлённый луч уже не может распространяться в воздухе, и возникает полное внутреннее отражение.

1. На предельном случае угол преломления β равен 90°, поэтому sin β = 1.
2. Подставляем в закон преломления: 1,5 sin αкр = 1 · 1. Значит, sin αкр = 1/1,5 = 2/3.
3. Вычисляем критический угол: αкр = arcsin(2/3) ≈ 41,8°. При углах падения больше этого значения преломлённого луча нет.

Ответ: полное внутреннее отражение начинается при угле падения около 42° и становится полным при углах больше критического. Угол измеряется от перпендикуляра к границе.

Типичные ошибки

Ошибка — отсчитывать углы от поверхности раздела. Так делают, потому что граница заметна на рисунке, но в формулах используются углы от перпендикуляра; проверьте, что именно указано в условии, и при необходимости вычтите угол из 90°.

Иногда угол отражения принимают за угол между отражённым лучом и продолжением падающего. Это смешивает угол между лучами с углом к перпендикуляру; сверяйтесь с определением: оба угла в законе отражения измеряются от перпендикуляра, но для разных лучей.

В законе преломления можно по ошибке поменять местами показатели преломления. Путаница возникает, если не подписать среды до подстановки; обозначьте индексом 1 среду, где луч падает, а индексом 2 — среду, куда он переходит, и запишите n₁ sin α = n₂ sin β.

Неверно считать, что при преломлении меняется частота света. Скорость в новой среде действительно другая, поэтому меняется длина волны, но частота сохраняется; самопроверка — использовать связь v = λf и при изменении v оставить f неизменной.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны понятия луча и волны, а также скорость и длина волны. Ещё пригодятся умение измерять углы от заданной линии и знание синуса; без этого легко неверно подставить данные в закон преломления. Принцип Гюйгенса даёт общий способ рассуждать о распространении волн, а отражение и преломление применяются при изучении линз и оптических приборов. Предельный случай преломления приводит к полному внутреннему отражению.

Что запомнить

• Новый волновой фронт — огибающая вторичных волн.
• Направление луча перпендикулярно волновому фронту.
• Угол падения равен углу отражения.
• Углы в законах отражения и преломления отсчитывают от перпендикуляра к границе.
• При преломлении выполняется n₁ sin α = n₂ sin β.
• Частота света при переходе через границу сред не меняется.