53. Атом Бора

Определения и обозначения

Стационарное состояние — состояние атома, в котором электрон не излучает энергию; каждому такому состоянию соответствует определённая энергия. Это понятие помогает задать устойчивые состояния атома, несмотря на то что классическая физика предсказывает потерю энергии электроном.

Квантование орбит — условие Бора, согласно которому разрешены только орбиты с моментом импульса электрона mvr = nħ, где n — целое положительное число. Здесь m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, а ħ — постоянная Планка, делённая на 2π. Условие показывает, что электрон не может двигаться по любой орбите.

Энергетический уровень — значение энергии атома в одном из стационарных состояний; для атома водорода Eₙ = −13,6 эВ/n². Число n указывает номер уровня, а электронвольт — удобная единица энергии в атомной физике. Формула позволяет вычислить возможные энергии и сравнить их между собой.

Переход между уровнями — изменение состояния атома, сопровождаемое поглощением или испусканием фотона с энергией, равной разности энергий уровней. Фотон — квант электромагнитного излучения. Понятие перехода связывает изменения внутри атома с наблюдаемым светом.

Как это устроено

В классической модели электрон обращается вокруг положительно заряженного ядра, то есть движется с ускорением. По классической электродинамике ускоренный заряд должен излучать электромагнитные волны и терять энергию. Поэтому орбита постепенно уменьшалась бы, и электрон упал бы на ядро: такой атом не мог бы быть устойчивым. Кроме того, непрерывное изменение энергии означало бы непрерывный спектр излучения, тогда как у водорода наблюдаются отдельные спектральные линии.

Бор предложил считать, что электрону доступны только некоторые состояния, называемые стационарными. На каждой разрешённой орбите атом обладает определённой энергией, а промежуточные значения энергии не допускаются. Выбор орбит задаёт условие квантования момента импульса mvr = nħ. Целое число n нумерует возможные орбиты и не позволяет электрону иметь произвольные радиус и скорость при движении вокруг ядра.

По постулату Бора электрон на стационарной орбите не излучает, хотя по классическим законам ускоренно движущийся заряд должен терять энергию. Модель не выводит это свойство из классической электродинамики, а принимает его как новое правило для атома. Благодаря этому энергия электрона на такой орбите остаётся постоянной, и атом не разрушается самопроизвольно. Излучение или поглощение возможно не во время движения по стационарной орбите, а только при смене состояния.

При переходе между уровнями энергия атома меняется на ΔE. Если конечный уровень ниже начального, атом теряет энергию и испускает фотон; если выше — получает энергию, поглощая фотон. Энергия фотона равна hν = |ΔE|, где h — постоянная Планка, а ν — частота излучения. Модуль нужен потому, что энергия фотона положительна независимо от того, увеличилась или уменьшилась энергия атома.

У водорода разрешены определённые уровни Eₙ = −13,6 эВ/n², поэтому разности энергий между ними тоже имеют строго заданные значения. Каждой такой разности соответствует частота фотона, а значит, отдельная линия спектра. Так модель Бора объясняет линейчатый спектр водорода, а не сплошной набор частот. Для атомов с несколькими электронами простая модель не учитывает в полной мере их взаимное взаимодействие, поэтому не описывает такие атомы точно.

Основные положения модели Бора и их следствия

Сначала найдите в таблице положение, которое относится к условию задачи: например, переход или квантование орбит. Затем используйте указанное следствие, чтобы выбрать нужную формулу. Таблица также помогает различить свойства модели и то, что из них можно вычислить или объяснить.

Разбор задач

Задача 1. Электрон в атоме водорода переходит с уровня n = 3 на уровень n = 2. Найдите энергию испущенного фотона. При испускании конечный уровень имеет меньшую энергию, а фотон уносит разность энергий атома. Поэтому сначала рассчитаем обе энергии, затем возьмём модуль разности.

1. Запишем формулу уровня водорода: Eₙ = −13,6 эВ/n².
2. Вычислим энергии: E₃ = −13,6/9 ≈ −1,51 эВ; E₂ = −13,6/4 = −3,40 эВ.
3. Найдём энергию фотона: |E₂ − E₃| = |−3,40 − (−1,51)| ≈ 1,89 эВ.

Ответ: энергия испущенного фотона примерно 1,89 эВ. Она положительна, хотя энергия атома при переходе уменьшилась. Это различие удобно проверять по смыслу: испущенный фотон уносит энергию, а не имеет отрицательную энергию.

Задача 2. При переходе атома водорода с уровня n = 3 на уровень n = 2 испускается фотон. Определите его длину волны. Разность энергий уже можно найти по формуле уровней, а связь энергии фотона с длиной волны задаётся выражением E = hc/λ. Используем hc ≈ 1240 эВ·нм, чтобы получить ответ сразу в нанометрах.

1. По расчёту энергий уровней E₃ ≈ −1,51 эВ и E₂ = −3,40 эВ, поэтому энергия фотона ΔE ≈ 1,89 эВ.
2. Из формулы E = hc/λ выразим длину волны: λ = hc/ΔE.
3. Подставим значения: λ ≈ 1240/1,89 нм ≈ 656 нм.

Ответ: длина волны составляет примерно 656 нм. Перед вычислением важно привести энергию к электронвольтам, если используете значение hc в эВ·нм. Результат относится к видимой красной области спектра.

Задача 3. Атом водорода испустил фотон с заданной длиной волны. Определите, между какими уровнями произошёл переход, если начальный уровень n = 4. Численное значение длины волны в условии не указано, поэтому единственный конкретный конечный уровень назвать нельзя. Решение показывает, как найти его после подстановки заданного значения λ.

1. Переведите длину волны в энергию фотона: ΔE = hc/λ. Если λ выражена в нанометрах, удобно взять hc ≈ 1240 эВ·нм.
2. При испускании электрон переходит с n = 4 на более низкий уровень, поэтому возможны n = 3, 2 или 1. Для каждого варианта найдите разность |Eₖ − E₄|, используя Eₙ = −13,6 эВ/n².
3. Сравните найденные разности с энергией фотона и выберите уровень k, для которого значения совпадают в пределах точности измерений.

Ответ: конечный уровень определяется по заданной длине волны сравнением ΔE = hc/λ с разностями энергий переходов 4 → 3, 4 → 2 и 4 → 1. Переход на уровень выше n = 4 не подходит, поскольку при испускании энергия атома уменьшается. Если длина волны не дана численно, ответ остаётся в таком виде.

Типичные ошибки

• Считать, что электрон излучает на стационарной орбите. Такое представление переносят из классической физики, где ускоренный заряд излучает энергию. В модели Бора стационарное состояние специально постулируется как неизлучающее. Проверьте себя: если состояние не меняется, фотон не испускается и не поглощается.

• Путать номер уровня n с энергией уровня. Номер растёт вверх, но энергия водорода Eₙ = −13,6 эВ/n² отрицательна и при увеличении n приближается к нулю. Путаница возникает из-за того, что больший номер ошибочно связывают с большей энергией по модулю. Проверьте уровни подстановкой в формулу и отдельно сравните их численные значения.

• Вычислять энергию фотона как разность уровней без модуля или менять её знак. Знак ΔE атома зависит от направления перехода, а энергия фотона остаётся положительной. Поэтому для энергии фотона используют hν = |ΔE|. Проверьте ответ: энергия фотона не должна получиться отрицательной.

• Считать модель Бора точным описанием любого атома. Успех модели с водородом заставляет переносить её выводы на все атомы без оговорок. Но она ограниченно применима к системам с одним электроном и не учитывает полностью сложные взаимодействия в многоэлектронных атомах. Проверьте себя: вывод о спектре относится к области применимости модели, а не автоматически к любому элементу.

Связь с другими темами

Для понимания модели нужны знания о строении атома, зарядах электрона и ядра, энергии и электромагнитном излучении. При решении задач используются формулы энергии фотона E = hν и E = hc/λ, поэтому важно различать частоту и длину волны. Модель Бора связывает строение атома с наблюдаемыми спектральными линиями. Она служит переходом от классических представлений к квантовой физике и дальнейшему изучению спектров атомов.

Что запомнить

• Атом Бора может находиться только в определённых стационарных состояниях.
• На стационарной орбите электрон не излучает энергию.
• Момент импульса электрона в модели Бора квантован: mvr = nħ.
• Энергия атома изменяется только при переходе между уровнями.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней: hν = |ΔE|.
• При переходе на более низкий уровень атом испускает фотон, а на более высокий — поглощает.
• Модель Бора объясняет линейчатый спектр водорода, но не все свойства сложных атомов.