47. Атом Бора

Определения и обозначения

Постулаты Бора — два утверждения о стационарных состояниях атома и переходах электрона между ними. Они задают правила, которые помогают объяснить устойчивость атома и его световой спектр. Это не вывод из классической механики, а новые положения модели.

Стационарная орбита — разрешённая орбита электрона, на которой атом не излучает энергию. Электрон может находиться на такой орбите, не теряя энергию постепенно. Понятие нужно, чтобы описать устойчивость атома, которую не объясняла планетарная модель.

Энергетический уровень — одно из определённых значений энергии электрона в атоме; уровни обозначают главным квантовым числом n. Чем больше n, тем дальше от ядра в модели Бора расположена орбита. Номер уровня помогает находить энергию состояния и описывать переходы.

Квант энергии — порция энергии фотона, связанная с его частотой формулой E = hν. Здесь h — постоянная Планка, а ν — частота излучения. Эта связь позволяет по энергии перехода узнать частоту света, который испускает или поглощает атом.

Как это устроено

В планетарной модели Резерфорда электрон движется вокруг ядра, а значит, меняет направление скорости. По классической электродинамике ускоренно движущийся заряд должен излучать электромагнитные волны и терять энергию. Тогда орбита становилась бы всё меньше, и электрон быстро упал бы на ядро, а атом оказался бы неустойчивым. Наблюдаемые устойчивые атомы показывают, что классического описания недостаточно.

Первый постулат Бора снимает это противоречие: электрону разрешены только некоторые стационарные состояния, и в них он не излучает. Пока электрон остаётся на разрешённой орбите, энергия атома не убывает и падения на ядро не происходит. Излучение или поглощение связывается не с движением по такой орбите, а с переходом из одного состояния в другое. Так модель сохраняет идею движения вокруг ядра, но вводит для него новые правила.

Второй важный шаг — условие квантования момента импульса: mvr = nℏ. Здесь m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, n — целое положительное число, а ℏ — постоянная Планка, делённая на 2π. Из условия следует, что подходят не любые радиусы и энергии, а только отдельные значения. Поэтому электрон не может плавно занимать все возможные состояния, как предполагала бы классическая картина.

Если электрон переходит на более низкий уровень, атом отдаёт разность энергий в виде фотона; при переходе на более высокий уровень атом эту энергию поглощает. Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней: hν = |E₂ − E₁|. Модуль нужен, потому что энергия испускаемого фотона положительна, хотя энергии связанных состояний атома отрицательны. Зная разность уровней, можно найти частоту ν, а затем и длину волны света.

Для атома водорода энергия уровня задаётся формулой Eₙ = −13,6/n² эВ. Отрицательное значение означает, что электрон связан с ядром; нулю соответствовало бы состояние свободного электрона вдали от него. Поскольку возможны лишь определённые уровни, возможны и лишь определённые разности энергий, а значит, частоты света образуют отдельные линии. Модель хорошо объясняет спектр водорода, но для атомов с несколькими электронами взаимодействие электронов делает её недостаточной.

Основные положения модели атома Бора

Сначала определите, какое явление описывает задача: состояние на орбите или переход между уровнями. Для перехода найдите энергии обоих уровней, вычислите их разность, а затем при необходимости частоту и длину волны. Отрицательные энергии подставляйте со знаком, а энергию фотона записывайте положительным модулем разности.

Разбор задач

Задача 1. Электрон в атоме водорода переходит с уровня n = 2 на уровень n = 1. Найдите энергию излучённого фотона. Так как электрон переходит на более низкий уровень, атом отдаёт энергию в виде фотона. Нужно вычислить энергии обоих состояний, а не считать энергию фотона равной энергии одного из них.

1. Для второго уровня E₂ = −13,6/2² = −3,4 эВ.
2. Для первого уровня E₁ = −13,6/1² = −13,6 эВ.
3. Энергия фотона равна модулю разности: Eф = |E₂ − E₁| = |−3,4 − (−13,6)| = 10,2 эВ.
4. Если ответ нужен в джоулях, используйте 1 эВ ≈ 1,60 · 10⁻¹⁹ Дж: Eф ≈ 1,63 · 10⁻¹⁸ Дж.

Ответ: 10,2 эВ, или приблизительно 1,63 · 10⁻¹⁸ Дж. Получилось положительное значение, потому что фотон уносит энергию, а знак перехода уже учтён выбором модуля разности.

Задача 2. Электрон в атоме водорода переходит с n = 3 на n = 2. Найдите частоту и длину волны испускаемого фотона. Сначала найдём энергию перехода по формуле уровня, затем воспользуемся связью энергии фотона с частотой. Для длины волны применим λ = c/ν, где c ≈ 3,00 · 10⁸ м/с.

1. E₃ = −13,6/3² ≈ −1,51 эВ, а E₂ = −13,6/2² = −3,40 эВ.
2. Eф = |E₃ − E₂| ≈ 1,89 эВ. В джоулях это примерно 1,89 · 1,60 · 10⁻¹⁹ = 3,02 · 10⁻¹⁹ Дж.
3. ν = Eф/h ≈ (3,02 · 10⁻¹⁹)/(6,63 · 10⁻³⁴) ≈ 4,56 · 10¹⁴ Гц.
4. λ = c/ν ≈ (3,00 · 10⁸)/(4,56 · 10¹⁴) ≈ 6,58 · 10⁻⁷ м = 658 нм.

Ответ: частота приблизительно 4,56 · 10¹⁴ Гц, длина волны — 658 нм. Переход направлен вниз, поэтому атом испускает фотон; направление перехода помогает проверить, правильно ли описано явление.

Задача 3. По длине волны спектральной линии водорода нужно определить, между какими уровнями произошёл переход. Численное значение длины волны в условии не задано, поэтому конкретную пару уровней назвать нельзя. Решение выполняют по алгоритму, подставляя данное в своей задаче значение λ.

1. Найдите энергию фотона: Eф = hν = hc/λ. Если λ задана в нанометрах, сначала переведите её в метры.
2. Для возможных уровней вычислите Eₙ = −13,6/n² эВ и разности ΔE = |Eₙ₂ − Eₙ₁|.
3. Сравните энергию фотона с разностями уровней. Подходящая пара — та, для которой ΔE совпадает с Eф с учётом точности измерения.
4. Проверьте направление: если электрон переходит вниз, фотон испускается; если вверх — поглощается.

Ответ: без значения длины волны однозначно определить уровни нельзя. После подстановки λ выбирают пару уровней, разность энергий которых равна hc/λ.

Типичные ошибки

• Считать, что электрон излучает на любой орбите. Так думают, перенося на модель Бора классическое представление об ускоренном заряде. Но стационарные орбиты как раз введены без излучения; проверьте себя: излучение должно быть связано с переходом между уровнями.
• Путать энергию уровня с энергией фотона. Энергия уровня описывает состояние атома, а фотон получает энергию при переходе между двумя состояниями. Чтобы не ошибиться, выпишите обе энергии и найдите их разность.
• Забывать, что энергия связанного электрона отрицательна. Если заменить отрицательные значения положительными или сложить их неправильно, результат окажется неверным. Подставляйте энергии со знаками, затем берите модуль разности: так энергия фотона получится положительной.
• Считать уровни равноотстоящими. Это заблуждение возникает из-за представления о равных шагах между соседними номерами n. В формуле Eₙ = −13,6/n² уровни сближаются при росте n; проверьте разности Eₙ₊₁ − Eₙ для нескольких значений n.

Связь с другими темами

Для понимания модели нужны сведения о строении атома, модели Резерфорда, электрическом поле, энергии, частоте и длине волны электромагнитного излучения. Понятия фотона, постоянной Планка и квантования энергии связывают тему с квантовой физикой. Идеи о переходах между уровнями применяются при объяснении спектров, принципа работы лазеров и спектрального анализа вещества. Ограничения модели Бора показывают, почему понадобилось развивать современную квантовую механику.

Что запомнить

• Атом может находиться только в определённых стационарных состояниях.
• На стационарной орбите электрон не излучает энергию.
• Момент импульса электрона на разрешённой орбите квантован: mvr = nℏ.
• Переход на более низкий уровень сопровождается излучением фотона.
• Переход на более высокий уровень требует поглощения фотона.
• Энергия фотона равна разности энергий уровней: hν = |E₂ − E₁|.
• Линейчатый спектр атома объясняется дискретностью энергетических уровней.