24. Кинетическая энергия

Определения и обозначения

Кинетическая энергия — энергия, которой тело обладает вследствие движения. Её обозначают Eк и измеряют в джоулях (Дж): 1 Дж = 1 кг·м²/с². Эта величина помогает оценить, какую работу тело способно совершить за счёт своего движения. Например, движущийся мяч может сдвинуть предмет, а вагон — привести в движение другой вагон.

Работа силы — величина, характеризующая передачу энергии при действии силы на тело; её обозначают A. Если постоянная сила направлена вдоль перемещения, работа равна произведению силы на путь: A = Fs. Работа показывает, как действие силы влияет на движение: положительная работа обычно увеличивает скорость, а отрицательная — уменьшает её. Так можно связать воздействие силы с изменением энергии тела.

Теорема об изменении кинетической энергии утверждает: изменение кинетической энергии тела равно работе равнодействующей сил, приложенных к нему. Равнодействующая — одна сила, действие которой заменяет совместное действие всех сил. Запись теоремы: Aрез = ΔEк = Eк₂ − Eк₁. Она позволяет находить изменение скорости через работу сил, не выясняя подробно, как менялось движение на каждом участке пути.

Как это устроено

Движущееся тело может совершить работу, потому что при взаимодействии оно способно изменить движение другого тела или вызвать его перемещение. Камень, летящий в цель, может деформировать её, а движущаяся тележка — сдвинуть стоящий груз. Чем заметнее такое действие, тем больше энергии движения может передаться при взаимодействии. Эту способность тела совершать работу благодаря движению и описывает кинетическая энергия.

Формулу Eк = mv²/2 можно получить, рассмотрев разгон тела постоянной силой. Работа силы равна A = Fs, а по второму закону Ньютона F = ma, поэтому A = mas. Для равноускоренного движения v² − v₀² = 2as, следовательно, as = (v² − v₀²)/2. Подстановка даёт A = mv²/2 − mv₀²/2: работа равна изменению выражения mv²/2, которое и называют кинетической энергией.

В теореме учитывают работу равнодействующей, потому что на тело часто действуют сразу несколько сил. Работа каждой из них может быть разной: например, сила тяги разгоняет тележку, а сила трения тормозит. Работы сил складываются, поэтому их сумма равна работе равнодействующей. Именно эта сумма, а не действие одной выбранной силы, определяет итоговое изменение кинетической энергии.

Из формулы Eк = mv²/2 видно, что при неизменной скорости энергия прямо пропорциональна массе: если масса увеличится вдвое, энергия тоже удвоится. Скорость входит в формулу в квадрате, поэтому при неизменной массе увеличение скорости вдвое увеличивает энергию в четыре раза. Например, удвоение скорости с 3 до 6 м/с меняет множитель v² с 9 на 36. Поэтому даже небольшое увеличение скорости может сильно повысить энергию движущегося тела.

Скорость всегда указывают относительно системы отсчёта, то есть выбранного тела или наблюдателя, относительно которого описывают движение. Пассажир, сидящий в движущемся автобусе, покоится относительно автобуса, но движется относительно дороги. Его кинетическая энергия в этих двух описаниях будет разной, поскольку различаются значения скорости. Значит, значение Eк не является одинаковым для всех наблюдателей и зависит от выбранной системы отсчёта.

Кинетическая энергия и её изменение

Сначала выбери строку с нужной величиной и проверь, какие данные известны. Если требуется найти изменение энергии, вычти начальное значение из конечного; для работы всех сил используй теорему. Все значения энергии и работы выражаются в джоулях.

Разбор задач

Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдите его кинетическую энергию. Поскольку масса и скорость уже известны, можно сразу воспользоваться формулой Eк = mv²/2. Проверь, что скорость возводится в квадрат, а масса не меняет единицу измерения.

1. Запишем формулу: Eк = mv²/2.
2. Подставим данные: Eк = 2 · 3²/2.
3. Вычислим квадрат скорости и сократим: Eк = 2 · 9/2 = 9 Дж.

Ответ: 9 Дж. Полученное значение положительно, как и должно быть для кинетической энергии движущегося тела. При той же массе и скорости вдвое большей энергия стала бы в четыре раза больше.

Тело массой 4 кг разгоняется с 2 м/с до 6 м/с. Найдите изменение кинетической энергии и работу равнодействующей силы. Сначала вычислим энергии в начале и в конце движения, потому что теорема связывает работу с их разностью. Направление изменения заранее видно из того, что скорость увеличилась.

1. Начальная энергия: Eк₁ = 4 · 2²/2 = 8 Дж.
2. Конечная энергия: Eк₂ = 4 · 6²/2 = 72 Дж.
3. Изменение: ΔEк = Eк₂ − Eк₁ = 72 − 8 = 64 Дж.
4. По теореме Aрез = ΔEк, значит работа равнодействующей равна 64 Дж.

Ответ: кинетическая энергия увеличилась на 64 Дж, работа равнодействующей силы равна 64 Дж. Положительное значение работы согласуется с разгоном тела. Это не означает, что работа каждой отдельной силы обязательно положительна.

На тело массой 5 кг, первоначально покоящееся, равнодействующая сила совершает работу 90 Дж. Найдите конечную скорость. Здесь известна работа, поэтому применим теорему, а начальную энергию примем равной нулю: тело покоится. Из полученного равенства выразим скорость и возьмём положительный корень, поскольку нужна величина скорости.

1. Запишем теорему: Aрез = Eк₂ − Eк₁.
2. Так как v₁ = 0, имеем Eк₁ = 0, поэтому 90 = 5v₂²/2.
3. Выразим квадрат скорости: v₂² = 2 · 90/5 = 36.
4. Найдём скорость: v₂ = √36 = 6 м/с.

Ответ: 6 м/с. Проверка: энергия тела при такой скорости равна 5 · 36/2 = 90 Дж, то есть совпадает с работой. Это верно именно потому, что начальное тело покоилось, а начальная кинетическая энергия была нулевой.

Типичные ошибки

Первая ошибка — записывать Eк = mv² вместо mv²/2. Так теряется множитель ½, поэтому вычисленная энергия оказывается вдвое больше нужной. Ошибку допускают, когда вспоминают квадрат скорости, но забывают коэффициент в формуле. Перед вычислением полезно записать формулу целиком и проверить результат обратной подстановкой.

Вторая ошибка — возводить в квадрат массу или подставлять скорость без квадрата. В формуле Eк = mv²/2 квадрат относится только к скорости: масса остаётся в первой степени. Чтобы проверить запись, поставь скобки: m · (v²), а затем проверь единицы — кг·(м/с)² дают джоули. Такой контроль помогает заметить неверное преобразование.

Третья ошибка — считать работу любой одной силы равной изменению кинетической энергии. Теорема относится к работе равнодействующей, то есть к сумме работ всех приложенных сил. Иногда сила трения или тяжести действует одновременно с тягой и тоже вносит вклад. Составь список сил и учти работу каждой, прежде чем применять равенство Aрез = ΔEк.

Четвёртая ошибка — полагать, что кинетическая энергия не меняется при смене системы отсчёта. В другой системе скорость тела может стать иной, а вместе с ней меняется и значение Eк. Это забывают, когда принимают скорость за абсолютную величину. Проверка проста: укажи, относительно чего задана скорость, и выясни, изменится ли она для другого наблюдателя.

Связь с другими темами

Для изучения кинетической энергии нужны понятия массы, скорости, силы и равнодействующей, а также работа постоянной силы. Они позволяют вывести формулу энергии и применить теорему к движению тела. Теорема об изменении кинетической энергии полезна в задачах о разгоне и торможении: можно связать работу сил с начальной и конечной скоростями. Позже эта связь поможет изучать закон сохранения механической энергии.

Что запомнить

• Кинетическая энергия связана с движением тела.
• Формула кинетической энергии: Eк = mv²/2.
• Единица кинетической энергии в СИ — джоуль.
• При увеличении массы в несколько раз кинетическая энергия увеличивается во столько же раз.
• При увеличении скорости в несколько раз кинетическая энергия увеличивается в квадрат этого числа раз.
• Работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии тела.
• Кинетическая энергия зависит от системы отсчёта.