"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Кинетическая энергия — энергия движения тела, зависящая от его массы и скорости. Она помогает описывать разгон, торможение и столкновения количественно: Eₖ = mv²/2. Изменение этой энергии определяется работой равнодействующей силы. Положительная работа увеличивает скорость и энергию, отрицательная уменьшает их, а при нулевой работе модуль скорости сохраняется. Значение энергии зависит от выбранной системы отсчёта.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кинетическая энергия — энергия механического движения тела. Её обозначают Eₖ и вычисляют по формуле Eₖ = mv²/2, где m — масса, а v — модуль скорости. Формула показывает: чем тяжелее тело и чем быстрее оно движется, тем больше энергии можно передать при его остановке.
Работа равнодействующей силы — величина, характеризующая передачу энергии телу при его перемещении. Равнодействующая заменяет совместное действие всех сил, приложенных к телу. Поэтому её работа позволяет оценить общий, а не отдельный вклад сил в изменение движения.
Теорема о кинетической энергии утверждает: работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии тела: A = Eₖ₂ − Eₖ₁. Индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния. Теорема связывает динамику, где изучают силы, с энергетическим способом решения задач.
Единица кинетической энергии — джоуль (Дж). Из определения работы следует 1 Дж = 1 Н·м, а поскольку 1 Н = 1 кг·м/с², то 1 Дж = 1 кг·м²/с². В задачах массу берут в килограммах, скорость — в метрах в секунду, тогда энергия автоматически получается в джоулях.
Движущееся тело обладает энергией, потому что способно совершить работу при взаимодействии с другими телами. Например, движущийся автомобиль может сдвинуть препятствие или деформировать его. Чем больше масса и скорость автомобиля, тем больший эффект может вызвать его остановка, поэтому движение связывают с запасом кинетической энергии.
Связь скорости с действием силы следует из второго закона Ньютона: F = ma. Если сила направлена вдоль перемещения, её работа равна A = Fs. При равноускоренном движении можно использовать соотношение v₂² − v₁² = 2as, заменить ma на F и получить A = m(v₂² − v₁²)/2. Значит, A = Eₖ₂ − Eₖ₁, а при выборе начальной скорости, равной нулю, Eₖ = mv²/2.
Квадрат скорости появляется не случайно: сила изменяет скорость постепенно, а тело за это время проходит путь, который тоже зависит от скорости. В результате работа при разгоне оказывается связанной с v², а не просто с v. Масса входит в формулу в первой степени, потому что при одинаковом ускорении сила пропорциональна массе: тело массой 2m требует вдвое большей силы и получает вдвое большую энергию.
Знак работы показывает направление изменения энергии. Если равнодействующая имеет составляющую по движению, работа положительна и скорость возрастает; при направлении против движения работа отрицательна и скорость уменьшается. При нулевой работе энергия не меняется, хотя отдельные силы могут действовать и компенсировать друг друга.
Скорость измеряется относительно выбранной системы отсчёта, поэтому и кинетическая энергия не является одинаковой для всех наблюдателей. Пассажир, сидящий в автобусе, имеет нулевую скорость относительно автобуса, но движется относительно дороги. Следовательно, нулевой или ненулевой запас кинетической энергии зависит не только от тела, но и от того, кто и относительно чего его рассматривает.
| Ситуация | Условие для работы | Изменение кинетической энергии | Изменение скорости |
|---|---|---|---|
| Равнодействующая сила направлена по движению | A > 0 | Кинетическая энергия увеличивается | Скорость возрастает |
| Равнодействующая сила направлена против движения | A < 0 | Кинетическая энергия уменьшается | Скорость убывает |
| Работа равнодействующей силы равна нулю | A = 0 | Кинетическая энергия не изменяется | Модуль скорости сохраняется |
| Тело покоится | v = 0 | Eₖ = 0 | Скорость отсутствует |
Сначала определите знак работы равнодействующей силы, затем по теореме установите, увеличилась или уменьшилась энергия. При A = 0 меняется направление скорости или сохраняется состояние движения, но её модуль остаётся прежним. Последняя строка описывает покой тела в выбранной системе отсчёта.
Условие: автомобиль массой 1200 кг движется со скоростью 20 м/с. Нужно найти его кинетическую энергию. Все величины уже записаны в единицах СИ.
Ответ: Eₖ = 2,4 · 10⁵ Дж.
Условие: тело массой 2 кг увеличило скорость с 3 до 7 м/с. Требуется определить работу равнодействующей силы. Работа равна разности конечной и начальной кинетических энергий.
Ответ: работа равнодействующей силы равна 40 Дж; она положительна, потому что тело разогналось.
Условие: автомобиль массой 1000 кг тормозит с 25 до 10 м/с на пути 50 м. Найдём работу силы сопротивления и её среднее значение, считая силу постоянной и направленной против движения.
Ответ: работа равна −2,625 · 10⁵ Дж, модуль средней силы сопротивления — 5250 Н.
Частая ошибка — подставить скорость без возведения в квадрат. Её допускают, когда воспринимают формулу как прямую пропорциональность скорости; проверка проста: при удвоении скорости энергия должна вырасти в четыре раза.
Кинетическую энергию иногда считают векторной величиной. Однако направление движения в формулу не входит, используется только модуль скорости, поэтому Eₖ — скаляр.
Нельзя приравнивать к изменению энергии работу любой одной силы, если действуют несколько сил. Теорема использует работу равнодействующей, то есть сумму работ всех сил; полезно проверить, учтены ли сопротивление, тяжесть и реакция опоры.
При торможении некоторые получают отрицательную кинетическую энергию. Отрицательной бывает работа, а сама энергия Eₖ = mv²/2 не меньше нуля; отрицательный результат должен относиться к изменению энергии или работе.
Для работы с кинетической энергией нужны второй закон Ньютона, понятия массы и скорости, формула работы силы, мощность и единицы СИ. Теорема особенно полезна в задачах о разгоне, торможении и столкновениях, где не всегда удобно находить время движения. Далее кинетическая энергия будет рассматриваться вместе с потенциальной в законе сохранения механической энергии.
Почему кинетическая энергия зависит от квадрата скорости?
При действии постоянной силы работа равна произведению силы на перемещение, а перемещение при разгоне связано со скоростью. После подстановки второго закона Ньютона получается Eₖ = mv²/2, поэтому скорость входит в формулу в квадрате.
Может ли кинетическая энергия быть отрицательной?
Нет, кинетическая энергия не бывает отрицательной, поскольку m > 0, а квадрат скорости неотрицателен. Отрицательной может быть работа равнодействующей силы: тогда кинетическая энергия уменьшается.
Почему для теоремы о кинетической энергии берут работу равнодействующей силы?
На тело обычно действует несколько сил, и каждая выполняет свою работу. Работа равнодействующей равна сумме работ всех сил, поэтому именно она показывает полное изменение кинетической энергии.
Как изменится кинетическая энергия, если скорость увеличить в два раза?
При неизменной массе энергия увеличится в четыре раза, потому что пропорциональна квадрату скорости: (2v)² = 4v².
Зависит ли кинетическая энергия от выбора системы отсчёта?
Да. Скорость тела может иметь разные значения относительно разных наблюдателей, поэтому различной будет и кинетическая энергия. Например, пассажир сидит неподвижно относительно автобуса, но движется относительно дороги.
§ 31. Кинетическая энергия
