"Физика (базовый уровень)", Белага В.В., Ломаченков И.А., Панебратцев Ю.А.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия, связанная с положением тел или деформацией частей тела. Она помогает описывать, как поднятое тело или растянутая пружина могут совершить работу. Значение энергии отсчитывают от выбранного нулевого уровня, поэтому особенно важно не абсолютное число, а изменение энергии. Для тела у поверхности Земли используют формулу Eп = mgh, для упругой деформации — Eп = kx²/2. При движении эта энергия может переходить в кинетическую.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Потенциальная энергия — энергия, связанная с взаимным расположением взаимодействующих тел или частей одного тела. Например, поднятое тело взаимодействует с Землёй, а сжатые части пружины — друг с другом. Это понятие нужно, чтобы описывать способность такой системы совершить работу благодаря своему положению или состоянию.
Нулевой уровень потенциальной энергии — выбранное положение, относительно которого определяют потенциальную энергию. Его можно назначить, например, на уровне пола или поверхности земли. Выбор нужен для отсчёта высоты и вычисления энергии, но сам по себе не меняет движение тела.
Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли — энергия, которую тело имеет из-за положения относительно выбранного уровня. Вблизи поверхности Земли её определяют масса m, ускорение свободного падения g и высота h: Eп = mgh. Эта формула позволяет сравнивать состояния тела до и после подъёма или опускания.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела — энергия, связанная с изменением его формы или размеров. Для пружины она зависит от жёсткости k и величины деформации x: Eп = kx²/2. Понятие помогает оценить запас энергии, который может высвободиться, когда пружина возвращается к исходной форме.
Потенциальная энергия характеризует взаимодействие, а не просто положение отдельно взятого тела. Например, поднятое тело может опуститься под действием силы тяжести и совершить работу; энергия системы «тело — Земля» при этом уменьшается. Поэтому изменение потенциальной энергии связано с работой силы: при перемещении против силы тяжести энергия накапливается, а при движении по её направлению — убывает.
Нулевой уровень выбирают произвольно, потому что в механике обычно важна разность энергий между двумя состояниями. Если перенести уровень отсчёта, высоты и значения Eп изменятся на одну и ту же постоянную величину, но изменение энергии при перемещении останется прежним. Это похоже на отсчёт высоты от пола или от улицы: цифры различаются, хотя подъём тела один и тот же.
Чтобы получить формулу для тела у поверхности Земли, вспомним работу силы тяжести на высоте h: при опускании тело движется по направлению силы, и сила тяжести совершает работу A = mgh. Этой работе соответствует уменьшение потенциальной энергии, поэтому для выбранного нулевого уровня Eп = mgh. При подъёме h увеличивается, значит, увеличивается и энергия: нужно совершить работу против силы тяжести.
У пружины сила упругости растёт вместе с деформацией: по закону Гука её модуль равен kx. Поэтому для растяжения нельзя считать, что на всём пути действует максимальная сила kx; средняя сила равна kx/2. Работа, затраченная на деформацию, равна средней силе, умноженной на x, откуда Eп = kx²/2. При большей деформации запас энергии растёт, причём пропорционален квадрату x.
При падении тела потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая, связанная со скоростью, увеличивается; при подъёме возможен обратный переход. Если сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь, энергия не уходит на нагрев и другие потери. Тогда сумма кинетической и потенциальной энергий остаётся постоянной: происходит превращение одной формы механической энергии в другую, а не исчезновение энергии.
| Случай | Формула | От чего зависит | Как выбирают нулевое значение |
|---|---|---|---|
| Тело в поле тяжести Земли | Eп = mgh | От массы m, ускорения свободного падения g и высоты h | Произвольно выбирают высоту, где Eп = 0 |
| Упруго деформированное тело | Eп = kx²/2 | От жёсткости k и деформации x | Ноль соответствует недеформированному состоянию |
| Единица измерения | Дж (джоуль) | Одна и та же для разных видов энергии | Нулевой уровень задают отдельно для конкретной системы |
| Что означает изменение энергии | ΔEп = Eп₂ − Eп₁ | От перехода системы из начального состояния в конечное | Не зависит от постоянного сдвига нулевого уровня |
Сначала определите, какой случай описан в задаче, и выберите соответствующую формулу. Затем проверьте, от какого положения отсчитывают высоту или деформацию и в каких единицах заданы величины. Для сравнения двух состояний часто достаточно найти изменение энергии, не вычисляя её отдельные значения.
Тело массой 2 кг подняли на 3 м над выбранным нулевым уровнем; g = 10 Н/кг. Нужно найти изменение потенциальной энергии, а не её значение относительно какого-либо другого уровня. При подъёме высота увеличивается на Δh = 3 м, поэтому изменение энергии положительно.
Запишем зависимость для изменения энергии тяжести: ΔEп = mgΔh. Она подходит, потому что высота задана именно относительно выбранного уровня.
Подставим данные: ΔEп = 2 кг · 10 Н/кг · 3 м = 60 Дж. Единицы согласуются: ньютон-метр равен джоулю.
Проверим знак: тело подняли, значит, его потенциальная энергия должна увеличиться. Полученное положительное значение этому соответствует.
Ответ: потенциальная энергия увеличилась на 60 Дж.
Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули на 0,1 м. Для определения запаса энергии нужна формула упругой деформации Eп = kx²/2. Деформацию обязательно выражаем в метрах, а недеформированное состояние принимаем за нулевое.
Запишем известные величины: k = 200 Н/м, x = 0,1 м. Квадрат в формуле относится ко всей величине деформации.
Подставим значения: Eп = 200 · (0,1)² / 2 = 200 · 0,01 / 2 = 1 Дж. Размерность Н/м · м² даёт Н·м, то есть джоуль.
Проверим порядок результата: деформация небольшая, поэтому энергия равна одному джоулю, а не сотням джоулей. Если растянуть пружину сильнее, энергия будет расти как квадрат деформации.
Ответ: потенциальная энергия пружины равна 1 Дж.
Тело падает без начальной скорости с высоты 5 м; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Требуется найти скорость непосредственно перед землёй. В выбранной системе начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую, поэтому используем закон сохранения механической энергии.
Запишем равенство для начала и конца падения: mgh = mv²/2. В начале скорость равна нулю, а у земли потенциальную энергию принимаем равной нулю.
Масса сокращается; умножаем равенство на 2 и выражаем скорость: v² = 2gh, значит, v = √(2gh). Для численного расчёта возьмём g = 10 Н/кг.
Подставим высоту: v = √(2 · 10 · 5) = √100 = 10 м/с. Скорость положительна, поскольку спрашивается её модуль.
Ответ: скорость перед землёй равна 10 м/с.
Считать потенциальную энергию абсолютной. Число Eп зависит от выбранного нулевого уровня, поэтому при его смене значение может измениться. Ошибку допускают, забывая, что ноль энергии — условность, а не особое физическое состояние. Проверьте себя: указано ли, относительно какого уровня измерена высота, и действительно ли в задаче требуется изменение энергии?
Подставлять высоту над землёй вместо высоты над выбранным уровнем. Если нулём назначен, например, полка или пол комнаты, в формулу нужно подставить высоту относительно этого положения. Путаница возникает из-за привычки считать высоту от поверхности Земли. Перед вычислением изобразите уровни и найдите разность высот от нужного нуля.
Записывать энергию пружины как kx². В такой записи пропущен множитель 1/2: сила упругости меняется от нуля до kx, поэтому средняя сила при деформации равна kx/2. Ошибка часто появляется при переносе закона Гука в формулу энергии без учёта работы переменной силы. Сверьте формулу с видом Eп = kx²/2 и проверьте, что x подставлено в метрах.
Считать, что механическая энергия сохраняется всегда. При трении и сопротивлении воздуха часть механической энергии переходит, например, во внутреннюю энергию и нагрев. Упрощение делают потому, что во многих задачах потерями разрешено пренебречь. Проверьте условие: если потери не исключены, нельзя автоматически приравнивать начальную и конечную механические энергии.
Чтобы разбирать задачи на потенциальную энергию, нужно знать работу силы и кинетическую энергию: изменение энергии помогает связать действие силы с движением тела. Для энергии тяжести понадобятся сила тяжести и ускорение свободного падения, а для пружины — закон Гука. Эти знания вместе позволяют описывать переходы энергии при движении и деформации.
Понятие потенциальной энергии особенно пригодится при изучении закона сохранения механической энергии. С его помощью можно находить скорость или высоту тела, не разбирая движение по отдельным малым промежуткам времени. Важно только учитывать условия применимости закона и возможные потери энергии.
Почему потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня?
Формула потенциальной энергии задаёт её относительно выбранного положения, которому приписывают нулевое значение. Если выбрать другой уровень, численное значение энергии изменится, но её изменение при одном и том же перемещении останется прежним.
Можно ли считать потенциальную энергию отрицательной?
Да, если тело находится ниже выбранного нулевого уровня, его потенциальная энергия тяжести будет отрицательной: Eп = mgh при h < 0. Это не означает, что энергия «меньше нуля» сама по себе, — так проявляется выбранный способ отсчёта.
Почему в формуле энергии пружины есть коэффициент 1/2?
При растяжении пружины сила упругости не постоянна: она возрастает от нуля до kx. Поэтому работа при деформации равна средней силе kx/2, умноженной на деформацию x, то есть Eп = kx²/2.
Как потенциальная энергия превращается в кинетическую?
Когда тело падает, его высота и потенциальная энергия тяжести уменьшаются, а скорость и кинетическая энергия растут. При подъёме происходит обратное превращение: кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная увеличивается.
Когда можно применять закон сохранения механической энергии?
Его применяют, когда потерями на трение, сопротивление воздуха и другие процессы можно пренебречь. Тогда сумма кинетической и потенциальной энергий системы остаётся постоянной, хотя каждая из них по отдельности может меняться.
23. Потенциальная энергия
