8. Движение с ускорением свободного падения

Определения и обозначения

Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь. Например, так можно описывать падение небольшого предмета в вакууме или движение на коротком участке, где влияние воздуха мало. Это определение помогает понять, какие силы учитывать в задаче: только силу тяжести.

Ускорение свободного падения обозначают буквой g; у поверхности Земли его модуль примерно равен 9,8 м/с². Вектор g направлен вниз, к Земле, независимо от того, движется тело вверх или вниз. Значение g нужно для расчёта изменения скорости; часто для упрощения вычислений принимают g = 10 м/с².

Движение тела, брошенного вертикально вверх, — это движение после того, как рука или другой источник толчка перестал действовать, а на тело продолжает влиять сила тяжести. Начальная скорость направлена вверх, но ускорение — вниз. Это различие позволяет объяснить, почему тело замедляется при подъёме, а затем опускается.

Как это устроено

Вблизи поверхности Земли сила тяжести почти не меняется, если высота движения мала по сравнению с размерами Земли. По второму закону Ньютона постоянная сила сообщает телу постоянное ускорение, поэтому свободное падение считают равноускоренным. Ускорение направлено вниз, потому что туда же направлена сила тяжести. Если ось выбрана вверх, проекция этого ускорения отрицательна: aᵧ = −g.

В идеальном свободном падении ускорение одинаково для тел разной массы. Сила тяжести у массивного тела больше, но его труднее разогнать в той же пропорции: при вычислении ускорения масса сокращается. Поэтому в вакууме лёгкое и тяжёлое тела, отпущенные одновременно с одной высоты, падают одинаково. В воздухе сопротивление может тормозить их неодинаково, так что наблюдаемое движение иногда отличается.

Для описания вертикального движения выберем ось y вверх и применим уравнения равноускоренного движения. Поскольку aᵧ = −g, скорость через время t равна v = v₀ − gt, а координата — y = y₀ + v₀t − gt²/2. Здесь y₀ и v₀ — начальные координата и проекция скорости, а t отсчитывают от начала движения. Минус перед членами с g появляется из-за направления ускорения, а не из-за особого вида движения.

Если тело отпустили без начальной скорости, то v₀ = 0. При падении на расстояние h скорость по модулю равна gt, а пройденный путь — h = gt²/2; эти формулы используют, когда известно время падения. Если известна высота, из второй формулы можно найти время: t = √(2h/g). Знак скорости зависит от выбранной оси, поэтому при оси вверх скорость падающего тела отрицательна, хотя её модуль положителен.

При броске вверх начальная скорость положительна, а ускорение всё равно направлено вниз. Из-за этого скорость v = v₀ − gt постепенно уменьшается; в верхней точке она на мгновение равна нулю. Затем скорость становится отрицательной, и тело движется вниз. Ускорение не исчезает в верхней точке: сила тяжести продолжает менять скорость, заставляя тело перейти от подъёма к падению.

Величины и уравнения движения по вертикали

Сначала определите, куда направлена ось, затем задайте знаки начальной скорости и ускорения. Таблица использует ось вверх, поэтому у падающего тела скорость отрицательна; её модуль показывает быстроту движения.

Разбор задач

Задача 1. Камень падает без начальной скорости 2 с. Найдите его скорость и путь, считая g = 10 м/с². Выберем направление вниз положительным, чтобы скорость падения записывалась со знаком плюс. Здесь спрашивают путь, поэтому достаточно найти модуль перемещения: тело всё время движется в одну сторону.

1. Для скорости используем формулу свободного падения: v = gt = 10 · 2 = 20 м/с. Положительное значение означает, что скорость направлена вниз при выбранной оси.
2. Путь находим по формуле h = gt²/2 = 10 · 2²/2 = 20 м. Проверяем единицы: м/с² умножается на с², значит, получаются метры.

Ответ: скорость равна 20 м/с вниз, путь — 20 м. Если бы ось была направлена вверх, проекция скорости получилась бы −20 м/с, но модуль скорости и путь не изменились бы.

Задача 2. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Найдите время подъёма и максимальную высоту, считая g = 10 м/с². Направим ось вверх и примем точку броска за начало отсчёта координаты. В верхней точке скорость равна нулю, поэтому момент достижения вершины можно найти из уравнения скорости.

1. Записываем 0 = v₀ − gt, откуда t = v₀/g = 20/10 = 2 с. Это время подъёма от момента броска до верхней точки.
2. Подставляем t = 2 с в уравнение координаты: h = v₀t − gt²/2 = 20 · 2 − 10 · 2²/2 = 20 м. Координата отсчитывается от места броска, поэтому она равна высоте подъёма.

Ответ: мяч поднимается 2 с и достигает высоты 20 м над точкой броска. После вершины он продолжит движение вниз, поскольку ускорение сохраняется.

Задача 3. Тело бросили вверх с высоты 15 м со скоростью 20 м/с. Найдите время до падения на землю и скорость при ударе, считая g = 10 м/с². Выберем ось вверх, а уровень земли обозначим y = 0; начальная координата тогда y₀ = 15 м. Уравнение координаты учитывает и подъём, и последующее падение.

1. Записываем y = 15 + 20t − 5t². В момент удара y = 0, поэтому 5t² − 20t − 15 = 0, или t² − 4t − 3 = 0.
2. Корни уравнения: t = 2 ± √7. Отрицательный корень не подходит, так как время после броска не может быть меньше нуля; значит, t = 2 + √7 ≈ 4,65 с.
3. Вычисляем проекцию скорости: v = 20 − 10t = 20 − 10(2 + √7) = −10√7 ≈ −26,5 м/с. Минус означает, что при ударе тело движется вниз.

Ответ: тело достигнет земли примерно через 4,65 с; скорость при ударе — около 26,5 м/с вниз. Отрицательное значение в расчёте — это проекция скорости, а не отрицательная быстрота.

Типичные ошибки

Ошибка: считать ускорение в верхней точке равным нулю. Так думают, потому что тело на мгновение останавливается перед началом падения. Однако нулю равна только скорость, а сила тяжести продолжает действовать. Проверьте себя: если бы ускорение исчезло, скорость не начала бы уменьшаться и тело не вернулось бы вниз.

Ошибка: при оси вверх подставлять ускорение +g. Часто путают модуль ускорения и его проекцию. Модуль g положителен, но вектор направлен противоположно оси, поэтому aᵧ = −g. Проверка проста: при движении вверх скорость должна уменьшаться, а формула v = v₀ − gt это показывает.

Ошибка: смешивать путь и перемещение. При движении вверх и обратно перемещение определяется только начальным и конечным положением, а путь учитывает всю пройденную траекторию. Их путают, потому что обе величины измеряются в метрах. Если тело вернулось в точку броска, перемещение равно нулю, но путь не равен нулю.

Ошибка: считать, что более тяжёлое тело в вакууме падает быстрее. Это представление часто возникает из повседневных наблюдений, где воздух сильнее влияет на лёгкие или широкие предметы. Без сопротивления воздуха ускорение свободного падения не зависит от массы. Чтобы проверить вывод, сравните движение тел в вакууме, а не предметов разной формы в воздухе.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны уравнения равноускоренного движения, понимание ускорения и умение выбирать направление координатной оси. Знаки проекций связывают направление движения с математической записью формул. Эти знания пригодятся при изучении движения под действием силы тяжести и закона всемирного тяготения. Понимание гравитационного ускорения также помогает разбирать движение планет и спутников.

Что запомнить

• Свободное падение — движение только под действием силы тяжести.
• У поверхности Земли g ≈ 9,8 м/с²; в задачах часто принимают g = 10 м/с².
• Ускорение свободного падения направлено вниз и не зависит от массы тела.
• При вертикальной оси вверх проекция ускорения равна −g.
• В верхней точке броска вверх скорость равна нулю, но ускорение равно g и направлено вниз.
• Формулы движения применяют вместе с выбранным направлением оси и знаками проекций.