3. Теория атома Бора

Определения и обозначения

Стационарное состояние атома — состояние с определённой энергией, в котором атом не излучает. Это первый постулат Бора: электрон на разрешённой орбите может двигаться, но не теряет энергию непрерывно. Поэтому атом не должен постепенно уменьшаться и разрушаться. Излучение возникает не при самом движении электрона, а при смене состояния.

Энергетический уровень — возможное значение энергии атома в стационарном состоянии. Энергия атома не может принимать любое значение: между разрешёнными уровнями есть промежутки, на которых стационарных состояний нет. Уровни удобно представлять как ступени, между которыми электрон переходит. Для водорода энергия уровня n равна Eₙ = −13,6/n² эВ.

Квантование орбит — условие, которому должны удовлетворять допустимые орбиты электрона в модели Бора: момент импульса электрона равен целому числу ħ, то есть mvr = nħ. Здесь m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, n — целое положительное число. Условие отбирает разрешённые орбиты из множества возможных. Благодаря ему радиус и энергия атома водорода принимают дискретные значения.

Квант излучения или поглощения — фотон, энергия которого равна разности энергий двух стационарных состояний. Если атом переходит вниз, он отдаёт эту энергию фотону; при переходе вверх получает её из поглощённого фотона. Связь записывают так: hν = |Eᵢ − Eₖ|. Она позволяет вычислить частоту или длину волны света по уровням атома.

Как это устроено

Классическая физика предсказывает, что ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны. Электрон, обращающийся вокруг ядра, движется с ускорением, поэтому должен был бы непрерывно терять энергию. При уменьшении энергии его орбита становилась бы всё меньше, и электрон упал бы на ядро. Но обычные атомы устойчивы, значит, классическое описание не объясняет их строение.

Бор разрешил противоречие, введя стационарные состояния: в них атом обладает определённой энергией, но не излучает. Это не следует из классической физики, а принимается как отдельный постулат модели. Электрон может находиться только в одном из таких состояний, а не на любой мыслимой орбите. Поэтому он не теряет энергию постепенно и не падает на ядро.

Не все орбиты, допускаемые механикой, разрешены в модели Бора. Условие mvr = nħ требует, чтобы момент импульса был кратен постоянной ħ, а n было целым числом. Для атома водорода это приводит к отдельным радиусам орбит и отдельным значениям энергии. Энергии связанных состояний отрицательны: нулю соответствует электрон, удалённый от ядра настолько, что связь с ним исчезла.

Атом меняет энергию, переходя между стационарными состояниями. При переходе на более низкий уровень он испускает фотон, а при переходе на более высокий — поглощает его. Энергия фотона равна модулю разности энергий начального и конечного уровней: hν = |Eᵢ − Eₖ|. Знак изменения энергии атома при этом зависит от направления перехода, а энергия фотона остаётся положительной.

Так объясняется линейчатый спектр водорода: каждому возможному переходу соответствует своя разность энергий, а значит, своя частота света. Поскольку уровни дискретны, атом не может излучить свет с произвольной частотой. Переходы вниз создают линии спектра излучения, а поглощение фотонов подходящей энергии — линии спектра поглощения. По частотам линий можно судить о структуре энергетических уровней атома.

Состояния атома и переходы между ними в теории Бора

Сначала определите, остаётся ли электрон на прежнем уровне или переходит на другой. Затем сравните энергии состояний: движение вниз означает испускание, а вверх — поглощение. Для ионизации сравнивают энергию исходного состояния с нулём, соответствующим свободному электрону.

Разбор задач

Задача 1. Найдите энергию электрона в атоме водорода на уровне n = 3, если Eₙ = −13,6/n² эВ. Нужно подставить заданное главное квантовое число в формулу уровней. Отрицательный знак сохраняется, поскольку электрон связан с ядром, а нулю соответствует граница ионизации.

1. Подставим n = 3: E₃ = −13,6/3² эВ.
2. Возведём число в квадрат и разделим: E₃ = −13,6/9 ≈ −1,51 эВ.
3. Проверим смысл знака: энергия ниже нуля, поэтому электрон остаётся связанным с ядром.

Ответ: E₃ ≈ −1,51 эВ.

Задача 2. При переходе атома водорода с уровня n = 3 на уровень n = 2 испускается фотон. Найдите его энергию и длину волны. Сначала найдём энергии обоих уровней, затем разность: при переходе вниз атом отдаёт её фотону. Для длины волны используем Eф = hc/λ, где hc ≈ 1240 эВ·нм.

1. E₃ = −13,6/9 ≈ −1,51 эВ; E₂ = −13,6/4 = −3,40 эВ.
2. Eф = |E₃ − E₂| = |−1,51 − (−3,40)| ≈ 1,89 эВ.
3. λ = hc/Eф ≈ 1240/1,89 нм ≈ 656 нм. Длина волны соответствует видимому красному свету.

Ответ: энергия фотона примерно 1,89 эВ, длина волны — 656 нм.

Задача 3. Какую минимальную энергию нужно сообщить атому водорода в состоянии n = 2, чтобы ионизировать его? На границе ионизации энергия электрона равна нулю. Поэтому требуется компенсировать отрицательную энергию исходного связанного состояния, а не взять всю энергию уровня без учёта знака.

1. Найдём энергию состояния: E₂ = −13,6/2² = −3,40 эВ.
2. При ионизации конечная энергия Eкон = 0, поэтому необходимая энергия равна Eкон − E₂.
3. ΔE = 0 − (−3,40) = 3,40 эВ. Это минимальное значение: больший запас энергии не требуется для самого факта ионизации.

Ответ: нужно сообщить не менее 3,40 эВ.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что электрон излучает на любой стационарной орбите. Так думают, потому что в классической физике движущийся с ускорением заряд излучает. Но постулат Бора специально утверждает, что в стационарном состоянии излучения нет. Проверьте себя: если электрон не меняет уровень, энергия атома постоянна и фотон не испускается.

Ошибка: полагать, что электрон может иметь произвольную энергию. Уровни часто представляют непрерывной шкалой, но в модели Бора разрешены лишь отдельные значения. Из-за этого спектр состоит из линий, а не из непрерывного набора частот. Проверка проста: для связанного электрона водорода подставьте целое n в Eₙ = −13,6/n² эВ.

Ошибка: путать изменение энергии при переходе. Можно решить, что при испускании фотона энергия атома растёт, потому что фотон уносит энергию. На деле атом отдаёт энергию, поэтому переходит вниз; при поглощении его энергия возрастает. Сверяйте направление перехода с энергиями: вниз — меньшее значение, вверх — большее.

Ошибка: приравнивать энергию фотона энергии одного уровня. Так бывает, если забыть, что фотон связан именно с переходом между двумя состояниями. Его энергия равна модулю разности уровней, а не начальному или конечному значению отдельно. Проверка: запишите Eф = |Eнач − Eкон| и убедитесь, что результат положителен.

Связь с другими темами

Для понимания модели нужны знания о строении атома, ядре и электроне, а также понятия энергии и закона её сохранения. Энергия фотона связана с частотой и длиной волны формулами E = hν и E = hc/λ. Эти соотношения помогают исследовать спектры излучения и поглощения атомов: по линиям находят возможные переходы.

Теория Бора стала шагом от классических представлений к квантовой модели атома. Она объяснила устойчивость и спектр водорода, но не описывает в полной мере сложные многоэлектронные атомы. Это показывает границы простых моделей и необходимость квантовой механики.

Что запомнить

• В атоме существуют стационарные состояния с определёнными энергиями.
• На стационарной орбите электрон не излучает энергию.
• Допустимые орбиты электрона квантованы.
• При переходе между уровнями атом испускает или поглощает фотон.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней: hν = |Eᵢ − Eₖ|.
• Переход вниз сопровождается испусканием, а переход вверх — поглощением фотона.
• Теория Бора объясняет линейчатый спектр атома водорода.