3. Теория атома Бора

Определения и обозначения

Стационарное состояние атома — состояние с определённой энергией, в котором атом не излучает энергию. Электрон может находиться только на разрешённых орбитах, соответствующих таким состояниям. Это понятие позволяет описать устойчивость атома, не прибегая к непрерывной потере энергии.

Постулаты Бора — положения о стационарных состояниях атома и переходах между ними. Согласно им, на разрешённых орбитах электрон не излучает, а при переходе испускается или поглощается фотон. Эти правила составляют основу модели Бора и объясняют атомные спектры.

Квантование орбитального момента — условие mvr = nℏ, которое выделяет допустимые орбиты электрона. Здесь m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, n — целое положительное число, а ℏ = h/(2π) — постоянная Планка, делённая на 2π. Условие нужно, чтобы определить разрешённые значения радиуса и энергии.

Переход между уровнями энергии — изменение состояния атома, при котором электрон переходит с одной разрешённой орбиты на другую. Атом испускает или поглощает фотон, энергия которого равна разности энергий начального и конечного уровней. Так связаны внутреннее состояние атома и наблюдаемый свет.

Как это устроено

Модель Резерфорда представляла атом как маленькое ядро и движущиеся вокруг него электроны. Но электрон при движении по орбите ускоряется, а классическая электродинамика предсказывает, что ускоренный заряд излучает энергию. Теряя энергию, электрон должен был бы приближаться к ядру, и атом быстро разрушался бы. Наблюдаемая устойчивость атомов противоречила такому выводу.

Бор устранил противоречие, допустив существование особых стационарных состояний. На соответствующих им орбитах электрон не излучает энергию, хотя продолжает двигаться. Излучение или поглощение возникает только при переходе между состояниями. Поэтому электрон не теряет энергию непрерывно и не падает на ядро, пока остаётся на разрешённой орбите.

Разрешёнными являются не все возможные орбиты: орбитальный момент электрона должен удовлетворять условию mvr = nℏ. Поскольку n принимает только целые положительные значения, радиус и энергия электрона также могут иметь лишь отдельные значения. Эти значения называют энергетическими уровнями. Дискретность уровней — ключ к объяснению того, почему атомы взаимодействуют со светом определённых частот.

Если электрон переходит на более низкий уровень, разность энергий уносит фотон; если он поднимается на более высокий, атом поглощает фотон такой энергии. Связь записывается как hν = |E₂ − E₁|, где h — постоянная Планка, ν — частота света, а E₁ и E₂ — энергии двух состояний. Частота фотона поэтому зависит от конкретной пары уровней, а не выбирается произвольно. Набор возможных переходов создаёт спектральные линии.

В атоме водорода дискретные уровни порождают наблюдаемый линейчатый спектр: каждой линии соответствует переход с определённой разностью энергий. Для водорода Eₙ = −13,6 эВ/n², где n — номер уровня; отрицательный знак показывает, что электрон связан с ядром. Модель Бора успешно описывает водород и водородоподобные ионы с одним электроном, но не даёт полного объяснения спектров многоэлектронных атомов.

Энергетические уровни и переходы в атоме водорода

В таблице энергии приведены относительно свободного электрона, удалённого от ядра: его энергию принимают равной нулю. Для водорода уровень с номером n имеет энергию Eₙ = −13,6 эВ/n². Сравнивайте начальный и конечный уровни: знак изменения энергии показывает направление перехода, а модуль — энергию фотона.

Разбор задач

Задача 1. Электрон в атоме водорода переходит с уровня n = 3 на уровень n = 2. Нужно определить, испускается или поглощается фотон, и найти его энергию. Используем формулу уровней водорода Eₙ = −13,6 эВ/n².

1. Вычислим начальную энергию: E₃ = −13,6/9 ≈ −1,51 эВ. Конечная энергия E₂ = −13,6/4 = −3,40 эВ.
2. Конечный уровень имеет меньшую энергию: электрон переходит ближе к основному состоянию. Значит, атом отдаёт разность энергий в виде фотона.
3. Eф = |E₂ − E₃| = |−3,40 − (−1,51)| ≈ 1,89 эВ.

Ответ: атом испускает фотон энергией примерно 1,89 эВ. Сначала сравниваем уровни, а затем берём модуль разности, потому что энергия фотона положительна.

Задача 2. При переходе электрона в атоме водорода испущен фотон длиной волны 656 нм. Найдём энергию фотона и определим переход. Удобно использовать E = hc/λ; в электрон-вольтах hc ≈ 1240 эВ·нм.

1. Подставляем длину волны: Eф ≈ 1240/656 ≈ 1,89 эВ.
2. Сопоставляем эту энергию с разностями водородных уровней. Для n = 3 и n = 2 получаем |E₂ − E₃| = |−3,40 − (−1,51)| ≈ 1,89 эВ.
3. Фотон испущен, значит электрон двигался с более высокого уровня на более низкий: переход n = 3 → n = 2.

Ответ: энергия фотона около 1,89 эВ, переход — с третьего уровня на второй. При точном сопоставлении учитывают округление постоянных и длины волны.

Задача 3. Для водородоподобного иона с зарядом ядра Ze нужно найти радиус орбиты и энергию при заданном главном квантовом числе n. Здесь Z — число протонов в ядре, а электрон один. Сочетаем кулоновскую силу, обеспечивающую центростремительное ускорение, и условие mvr = nℏ.

1. Для кругового движения m v²/r = kZe²/r², где k = 1/(4πε₀), e — элементарный заряд. Из квантования следует v = nℏ/(mr).
2. Подстановка скорости в уравнение движения даёт rₙ = a₀n²/Z, где a₀ ≈ 5,29·10⁻¹¹ м — радиус первой орбиты водорода.
3. Полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной: E = mv²/2 − kZe²/r. С учётом уравнения движения получаем Eₙ = −13,6Z²/n² эВ.

Ответ: rₙ = a₀n²/Z, Eₙ = −13,6Z²/n² эВ. При том же n увеличение заряда ядра уменьшает радиус и делает энергию более отрицательной.

Типичные ошибки

Считать, что электрон излучает на стационарной орбите, — значит вернуться к классическому противоречию, которое теория Бора устраняет. Так можно подумать, смешав ускоренное движение электрона с правилом излучения при переходе. Проверьте себя: в постулатах излучение связано именно с изменением состояния, а не с движением по разрешённой орбите.

Путать поглощение и испускание легко, если ориентироваться только на слова «переход между уровнями». При переходе вверх атом поглощает фотон, при переходе вниз — испускает. Чтобы проверить направление, сравните энергии: энергия фотона поступает в атом при росте энергии и уходит из него при её уменьшении.

Энергию фотона иногда приравнивают энергии уровня, хотя фотон связан с двумя состояниями. Ошибка возникает из-за того, что в задаче часто дана энергия одного уровня, а не оба значения. Запишите Eф = |Eкон − Eнач| и подставьте обе энергии; ответ должен быть неотрицательным.

Считать модель Бора точным описанием любого атома неверно: она хорошо объясняет водород и водородоподобные ионы, но ограничена для многоэлектронных атомов. Успех на примере водорода иногда ошибочно обобщают на всю атомную физику. Перед применением модели проверьте, есть ли в системе только один электрон; для сложных атомов нужны более общие квантовые модели.

Связь с другими темами

Для понимания модели нужны закон Кулона и представление о движении заряженной частицы в электрическом поле: кулоновская сила удерживает электрон на орбите. Потенциальная энергия помогает найти полную энергию электрона и понять, почему уровни связанного атома отрицательны. Формулу энергии фотона E = hν = hc/λ используют, чтобы связать переходы с частотой и длиной волны света. Теория Бора подводит к квантовой механике, которая глубже описывает атомы и объясняет линейчатые спектры.

Что запомнить

• Атом может находиться только в определённых стационарных состояниях.
• На стационарной орбите электрон не излучает энергию.
• Допустимые орбиты задаются условием mvr = nℏ.
• Энергия атома принимает дискретные значения.
• При переходе между уровнями излучается или поглощается фотон.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней: hν = |E₂ − E₁|.