3. Теория атома Бора

Определения и обозначения

Стационарное состояние — состояние атома с определённой энергией, в котором электрон не излучает энергию. Слово «стационарное» означает, что атом сохраняет эту энергию, пока остаётся в состоянии. Понятие нужно, чтобы описывать устойчивые состояния атома, не используя классическую картину непрерывного излучения.

Квантование орбит — условие Бора, по которому момент импульса электрона на разрешённой орбите равен mvr = nℏ. Здесь m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, n — натуральное число, ℏ — постоянная Планка, делённая на 2π. Условие показывает, что разрешены не любые орбиты, а только соответствующие целым значениям n.

Энергетический уровень — значение энергии атома в стационарном состоянии. Для атома водорода Eₙ = −13,6 эВ/n², где n — номер уровня. Формула позволяет находить энергию состояния и сравнивать уровни; отрицательный знак указывает, что электрон связан с ядром.

Квантовый переход — переход атома из одного стационарного состояния в другое с испусканием или поглощением фотона. При этом энергия атома меняется на величину, связанную с энергией фотона. Понятие нужно для объяснения появления спектральных линий и расчёта частоты или длины волны света.

Как это устроено

Модель Резерфорда представляла атом как маленькое ядро и электроны, движущиеся вокруг него. Но по классической электродинамике движущийся по орбите электрон должен излучать электромагнитные волны, потому что его скорость меняет направление. Излучая, он терял бы энергию, постепенно приближался к ядру и в итоге падал на него. Атомы в действительности устойчивы, поэтому классическое описание не могло объяснить наблюдаемое поведение атома.

Чтобы устранить это противоречие, Бор предположил, что электрон может находиться только в некоторых стационарных состояниях. Пока он находится в одном из них, атом не излучает энергию, несмотря на движение электрона. Поэтому электрон не теряет энергию постепенно и не проваливается к ядру. Излучение возникает не во время движения по стационарной орбите, а при изменении состояния атома.

Бор задал разрешённые орбиты условием квантования момента импульса: mvr = nℏ. Число n принимает только натуральные значения, поэтому непрерывный набор орбит заменяется отдельными разрешёнными вариантами. Для каждого такого варианта у атома водорода есть определённые радиус орбиты и энергия. При увеличении n энергия становится менее отрицательной, то есть электрон слабее связан с ядром.

При переходе с одного уровня на другой энергия атома изменяется. Если атом переходит на уровень с меньшей энергией, избыток энергии уносит фотон; если на уровень с большей энергией — атом поглощает фотон. Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней: hν = |Eₘ − Eₙ|, где h — постоянная Планка, а ν — частота. Модуль используют, потому что энергия фотона положительна, независимо от направления перехода.

Энергии уровней дискретны, поэтому и разности между ними имеют определённые значения. Значит, атом может испустить или поглотить только фотон с одной из соответствующих энергий и частот. Каждой паре уровней соответствует своя спектральная линия, а набор таких линий образует линейчатый спектр водорода. Так теория Бора связала строение атома с наблюдаемым спектром.

Стационарные состояния и переходы в атоме водорода

Сначала по номеру n определите, рассматривается отдельное состояние или переход между состояниями. Затем найдите соответствующую энергию или разность энергий. По направлению изменения энергии можно установить, испускает атом фотон или поглощает его.

Разбор задач

Энергия второго уровня водорода

Условие: запишите энергию электрона в атоме водорода при n = 2. Нужно использовать формулу энергии стационарного состояния, подставив номер уровня вместо n. Знак минус сохраняется: состояние связано с ядром, а не является свободным электроном.

1. Записываем формулу: Eₙ = −13,6 эВ/n².
2. Подставляем n = 2: E₂ = −13,6 эВ/2².
3. Вычисляем: E₂ = −13,6/4 эВ = −3,4 эВ.

Ответ: энергия электрона на втором уровне равна −3,4 эВ.

Фотон при переходе с третьего уровня на второй

Условие: атом водорода переходит с n = 3 на n = 2; найдите энергию испущенного фотона. Поскольку конечный уровень ниже начального, атом отдаёт энергию. Сначала найдём оба значения энергии атома, а затем вычислим модуль их разности.

1. Для третьего уровня: E₃ = −13,6/3² эВ ≈ −1,51 эВ.
2. Для второго уровня: E₂ = −13,6/2² эВ = −3,4 эВ.
3. Энергия фотона равна |E₃ − E₂| = |−1,51 − (−3,4)| эВ ≈ 1,89 эВ.

Ответ: при переходе испускается фотон энергией примерно 1,89 эВ. Модуль разности даёт положительную энергию фотона, хотя энергия атома при переходе уменьшается.

Длина волны при переходе с n = 2 на n = 1

Условие: при переходе атома водорода с уровня n = 2 на уровень n = 1 испускается фотон; найдите его длину волны. Для этого сначала определим энергию фотона по разности энергий уровней, затем воспользуемся связью энергии и длины волны E = hc/λ. При сокращённом расчёте удобно взять hc ≈ 1240 эВ·нм.

1. Энергия второго уровня E₂ = −13,6/4 эВ = −3,4 эВ, первого — E₁ = −13,6 эВ.
2. Энергия фотона: E = |E₂ − E₁| = |−3,4 − (−13,6)| эВ = 10,2 эВ.
3. Из E = hc/λ получаем λ = hc/E ≈ 1240/10,2 нм ≈ 122 нм.

Ответ: длина волны испущенного фотона примерно 122 нм. Такой порядок вычислений подходит для переходов между уровнями водорода, если результат нужен в нанометрах.

Типичные ошибки

Считать, что электрон излучает на стационарной орбите. Такое представление переносят из классической физики, где ускоренно движущийся заряд излучает. В модели Бора на стационарном состоянии излучения нет, оно возникает только при переходе. Проверьте себя: если состояние не меняется, энергия атома остаётся постоянной.

Полагать, что электрон может иметь любую энергию. Так можно подумать, если мысленно представить движение электрона по произвольным орбитам. В модели Бора допустимы только состояния с определёнными энергиями, задаваемыми номером уровня. Проверка простая: для водорода подставьте целое n в формулу Eₙ = −13,6 эВ/n².

Путать испускание и поглощение. Ошибка часто возникает, если смотреть только на наличие фотона и не сравнивать уровни. При испускании атом переходит вниз по энергии, при поглощении — вверх. Чтобы проверить направление, сравните энергию конечного состояния с начальным.

Забывать знак энергии или не брать модуль разности. Энергии связанных состояний водорода отрицательны, и знак помогает отличать связанные состояния от свободного электрона. При поиске энергии фотона нужна положительная величина |Eₘ − Eₙ|. Проверьте вычисление: в ответе для энергии фотона не должно получиться отрицательное число.

Связь с другими темами

Для понимания теории Бора нужны модель атома Резерфорда, представление о движении заряженных частиц и формула энергии фотона E = hν. Модель Резерфорда показывает, почему классическое объяснение атома сталкивается с трудностью, а связь энергии и частоты позволяет описать свет при переходе между уровнями. Теория Бора помогает объяснять линейчатые спектры и стала историческим шагом к квантовой механике. Однако она не описывает полностью многоэлектронные атомы.

Что запомнить

• В атоме существуют стационарные состояния с определёнными энергиями.
• На стационарной орбите электрон не излучает.
• Момент импульса электрона в модели Бора квантован: mvr = nℏ.
• При переходе между уровнями атом испускает или поглощает фотон.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней.
• Модель Бора объясняет спектр атома водорода, но не все свойства многоэлектронных атомов.