"Физика (базовый уровень)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.
Векторные величины задаются не только числом, но и направлением: так описывают перемещение, скорость и силу. Поэтому при работе с ними важно учитывать, куда направлен каждый вектор. Их можно складывать и вычитать геометрически, а также умножать на число. Эти действия помогают находить общее перемещение или равнодействующую сил и готовят к решению задач, где величины раскладывают на составляющие.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Векторная величина — величина, для полного задания которой нужны числовое значение и направление. Например, перемещение описывает, насколько и куда передвинулось тело, а скорость — как быстро и в каком направлении оно движется. Это определение нужно, чтобы отличать такие величины от тех, которым достаточно одного числа, например массы.
Равные векторы — векторы одинаковой длины и направления, даже если они приложены к разным точкам. Их можно изображать в разных местах, но геометрически они не отличаются. Это позволяет переносить вектор параллельно самому себе при построениях, не меняя его значения.
Сумма векторов — вектор, получаемый при сложении векторов. По правилу треугольника второй вектор откладывают от конца первого, а сумма соединяет начало первого с концом второго. Так можно описать общий результат нескольких перемещений, не сводя их к отдельным длинам.
Произведение вектора на число — новый вектор, длина которого равна длине исходного вектора, умноженной на модуль числа. Знак числа задаёт направление: положительное сохраняет его, отрицательное меняет на противоположное. Это действие удобно, когда требуется увеличить, уменьшить или развернуть вектор.
Векторные величины нельзя складывать только как числа, потому что результат зависит от направлений слагаемых. Например, перемещения на 4 м вправо и на 4 м влево взаимно компенсируются, хотя сумма их длин равна 8 м. Значит, при сложении нужно учитывать не только величины, но и то, куда они направлены.
Чтобы построить сумму двух векторов по правилу треугольника, второй вектор переносят так, чтобы его начало оказалось в конце первого. Затем проводят вектор от начала первого к концу второго: это и есть сумма. Правило параллелограмма даёт тот же результат, потому что диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых с общим началом, соединяет те же начальную и конечную точки.
Сложение нескольких векторов выполняют последовательно: от конца первого откладывают второй, от его конца — третий и так далее. Итоговый вектор соединяет начало самого первого с концом последнего. Такой способ работает потому, что промежуточные точки пути не меняют положение, в котором окажется тело после всех перемещений.
Вычитание вектора сводится к сложению с противоположным. Чтобы вычесть вектор b из вектора a, к a прибавляют вектор −b: он равен b по длине, но направлен в обратную сторону. Геометрически это можно показать правилом треугольника, приложив −b к концу a; вектор от начала a к концу −b будет разностью.
При умножении вектора на число меняются его длина и, иногда, направление. Если число положительное, вектор остаётся направленным так же, а его длина увеличивается или уменьшается в указанное число раз. Если число отрицательное, длина умножается на модуль числа, а направление становится противоположным. При умножении на ноль длина становится нулевой, поэтому получается нулевой вектор без определённого направления.
| Действие | Геометрическое построение | Длина и направление результата |
|---|---|---|
| Сложение двух векторов | Начало второго совмещают с концом первого; также строят параллелограмм с общим началом | Результат направлен от начала первого к концу второго; длина зависит от угла между ними |
| Сложение нескольких векторов | Каждый следующий вектор откладывают от конца предыдущего | Результат соединяет начало первого и конец последнего |
| Вычитание векторов | К первому вектору прибавляют противоположный второму | Направление и длина определяются построением суммы |
| Умножение вектора на положительное число | Вектор удлиняют или укорачивают, сохраняя направление | Длина умножается на число, направление сохраняется |
| Умножение вектора на отрицательное число | Вектор разворачивают и изменяют его длину | Длина умножается на модуль числа, направление противоположно исходному |
Сначала определите, какое действие требуется, затем постройте векторы с учётом их направлений. Таблица помогает выбрать геометрическое правило и понять, что произойдёт с длиной и направлением результата.
Задача 1. На рисунке заданы два сонаправленных перемещения длиной 3 м и 4 м. Нужно построить их сумму и определить её длину. Поскольку оба перемещения направлены одинаково, они продолжают путь в одну сторону, а не компенсируют друг друга.
Ответ: сумма направлена в ту же сторону, её длина равна 7 м. Здесь сложение длин допустимо именно из-за сонаправленности векторов.
Задача 2. Два перемещения длиной 6 м направлены под прямым углом. Требуется построить результирующий вектор и найти его длину. Складывать 6 м и 6 м напрямую нельзя: векторы не лежат на одной прямой, поэтому используем геометрию прямоугольника.
Ответ: результирующее перемещение — диагональ параллелограмма длиной 6√2 м, или примерно 8,5 м. Оно короче суммы длин отдельных перемещений, поскольку те направлены под прямым углом.
Задача 3. Тело переместилось на 8 м на восток, затем на 3 м на запад. Нужно найти суммарное перемещение и сравнить его с первым. Западное направление противоположно восточному, поэтому второе перемещение уменьшает итоговый путь на восток.
Ответ: суммарное перемещение равно 5 м на восток. Оно направлено так же, как первое перемещение, но короче него на 3 м.
Ошибка: складывать длины векторов независимо от направлений. Так поступают, когда переносят привычное сложение чисел на векторы, но это верно только для сонаправленных векторов. Проверьте себя: если направления противоположны, результат должен учитывать взаимное уменьшение векторов.
Ошибка: откладывать второй вектор от начала первого, а не от его конца. Тогда построение не соответствует правилу треугольника и конечная точка суммы оказывается неверной. Проверьте, что начало каждого следующего вектора совпадает с концом предыдущего.
Ошибка: вычитать длины вместо сложения первого вектора с противоположным второму. Одних длин недостаточно: нужно учесть, в какую сторону направлен результат. Для проверки разверните вычитаемый вектор на 180° и выполните обычное сложение.
Ошибка: при умножении на отрицательное число менять только длину. Знак числа означает разворот вектора, поэтому направление результата должно быть противоположно исходному. Проверьте построение: длина задаётся модулем числа, а стрелка должна смотреть в обратную сторону.
Для работы с векторами нужно уметь изображать их, определять длину и направление, а для перпендикулярных векторов — применять теорему Пифагора. В механике сложение помогает находить результирующие перемещение, скорость или силу, если действуют несколько направленных величин. Те же построения понадобятся при разложении сил и перемещений на составляющие и в дальнейшем решении задач по механике.
Можно ли переносить вектор параллельно самому себе при построении суммы?
Да. Вектор можно переносить параллельно самому себе, не меняя его длину и направление. Это позволяет приложить начало второго вектора к концу первого.
Когда для нахождения длины суммы достаточно сложить длины векторов?
Когда векторы сонаправлены, то есть направлены вдоль одной прямой в одну сторону. Если между ними есть угол, длину результирующего вектора находят с учётом этого угла.
Как построить разность двух векторов?
К первому вектору прибавляют вектор, противоположный второму. Противоположный вектор имеет ту же длину, но направлен в обратную сторону.
Что происходит с вектором при умножении на ноль?
Получается нулевой вектор, длина которого равна нулю. У нулевого вектора нет определённого направления.
Почему сумма двух векторов зависит от угла между ними?
Потому что направления слагаемых влияют на то, насколько они усиливают или компенсируют друг друга. При разных углах диагональ построенного параллелограмма имеет разную длину.
4. Действия с векторными величинами
