4. Действия с векторными величинами

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого есть длина и направление. Его обозначают строчной буквой со стрелкой, например a⃗, или двумя буквами со стрелкой над ними; модуль, то есть длину вектора, записывают |a⃗|. Направленный отрезок нужен, чтобы описывать величины, для которых одного числа недостаточно: например, перемещение важно не только по размеру, но и по направлению.

Равные векторы — векторы одинаковой длины и направления, независимо от того, где они расположены. Например, два направленных отрезка могут начинаться в разных точках, но представлять один и тот же вектор. Это позволяет переносить векторы при построении действий, не изменяя их смысла.

Сумма векторов — вектор, который получают по правилу треугольника или параллелограмма. Геометрическое построение показывает и величину результата, и его направление, поэтому сложение векторов не сводится к сложению чисел. Сумма помогает определить общий эффект нескольких перемещений или воздействий.

Умножение вектора на число изменяет длину в |k| раз, где k — множитель, а при отрицательном k разворачивает вектор в противоположную сторону. Если k положительно, направление сохраняется; если k = 0, получается нулевой вектор. Такое действие позволяет увеличивать, уменьшать или обращать направление вектора.

Как это устроено

Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе, потому что при таком переносе сохраняются его длина и направление. Для вектора существенны именно эти характеристики, а не конкретное место на плоскости. Поэтому можно приложить начало одного вектора к концу другого и затем выполнить построение суммы.

По правилу треугольника начало второго вектора совмещают с концом первого. Суммой будет вектор от начала первого к концу второго: он показывает итоговый переход после двух последовательных перемещений. Если оба слагаемых приложены к одной точке, их можно представить соседними сторонами параллелограмма. Его диагональ из общего начала соединяет ту же начальную точку с тем же итоговым концом, поэтому правило параллелограмма даёт тот же результат.

Разность a⃗ − b⃗ понимают как сумму a⃗ и вектора −b⃗: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗). Противоположный вектор −b⃗ имеет ту же длину, что и b⃗, но направлен в другую сторону. Поэтому при построении разности вычитаемый вектор нужно развернуть, а затем прибавить к уменьшаемому по обычному правилу сложения.

При умножении a⃗ на число k длина результата становится равной |k|·|a⃗|, потому что модуль числа показывает, во сколько раз меняется длина. Знак k отвечает за направление: положительный множитель сохраняет направление, отрицательный меняет его на противоположное. Например, 3a⃗ втрое длиннее a⃗ и направлен так же, а −3a⃗ втрое длиннее и направлен обратно.

В координатах действия выполняют отдельно по каждой оси, потому что координаты показывают составляющие вектора вдоль этих осей. Если a⃗ = (a₁; a₂), а b⃗ = (b₁; b₂), то a⃗ + b⃗ = (a₁ + b₁; a₂ + b₂), а a⃗ − b⃗ = (a₁ − b₁; a₂ − b₂). При умножении на k каждую координату умножают на k: ka⃗ = (ka₁; ka₂). В пространстве действуют так же, добавляя третью координату.

Геометрический и координатный способы действий с векторами

Геометрический способ наглядно показывает направление результата, а координатный удобен для точных вычислений. Выбирай построение, когда важна наглядность, и координаты, когда известны компоненты векторов. Проверяй знаки координат до выполнения каждого действия.

Разбор задач

Построить сумму двух заданных векторов, приложенных к одной точке

Пусть векторы a⃗ и b⃗ имеют общее начало O. Нужно определить вектор, который соответствует их сумме. Для этого достаточно воспользоваться правилом параллелограмма: оно показывает оба слагаемых из одной точки и сразу задаёт направление результата.

1. Обозначим общее начало через O и достроим параллелограмм, используя a⃗ и b⃗ как стороны.
2. Проведём диагональ из O к противоположной вершине. Она и есть сумма a⃗ + b⃗, потому что соединяет начало двух последовательных перемещений с их общим конечным результатом.
3. Если построение выполнено по правилу треугольника, перенесём b⃗ к концу a⃗. Конец перенесённого вектора совпадёт с вершиной, к которой ведёт диагональ параллелограмма.

Ответ: сумма — диагональ параллелограмма, выходящая из общей точки приложения векторов.

Найти координаты суммы и разности a⃗ = (2; −1) и b⃗ = (−3; 4)

Вычислять длины или строить рисунок здесь не требуется: координаты результата находятся по соответствующим координатам исходных векторов. Важно сохранить знаки, особенно у отрицательных чисел. Сначала найдём сумму, затем разность a⃗ − b⃗.

1. Для суммы складываем первые координаты и отдельно вторые: a⃗ + b⃗ = (2 + (−3); −1 + 4) = (−1; 3).
2. Для разности вычитаем координаты b⃗ из координат a⃗: a⃗ − b⃗ = (2 − (−3); −1 − 4).
3. Вычитание отрицательного числа заменяем сложением: 2 − (−3) = 5, а −1 − 4 = −5. Значит, разность равна (5; −5).

Ответ: a⃗ + b⃗ = (−1; 3), a⃗ − b⃗ = (5; −5).

Даны a⃗ = (1; 2) и b⃗ = (3; −1). Найти координаты вектора 2a⃗ − 3b⃗ и его длину

Сначала отдельно вычислим 2a⃗ и 3b⃗, а затем найдём их разность. Такой порядок помогает не перепутать, к какому вектору относится множитель. После этого длину полученного вектора найдём по формуле √(x² + y²).

1. Умножаем каждую координату на свой множитель: 2a⃗ = (2; 4), 3b⃗ = (9; −3).
2. Вычитаем координаты второго результата из координат первого: 2a⃗ − 3b⃗ = (2 − 9; 4 − (−3)) = (−7; 7).
3. Находим длину вектора по его координатам: |2a⃗ − 3b⃗| = √((−7)² + 7²) = √98 = 7√2.

Ответ: координаты (−7; 7), длина 7√2.

Типичные ошибки

Иногда вместо построения суммы складывают длины векторов. Так поступают, перенося правило для обычных чисел на величины с направлением, но длины можно складывать напрямую лишь в частных случаях, например у сонаправленных векторов. Проверь себя: если направления различаются, построй сумму или найди её координаты; длина результата может оказаться меньше суммы длин.

При вычитании бывает, что второй вектор оставляют направленным как прежде и пытаются просто соединить его с первым. Причина в том, что знак минус воспринимают как действие только с длиной, хотя он задаёт противоположное направление. Перед построением замени вычитаемый вектор на противоположный и проверь, что его стрелка развёрнута.

Ещё одна ошибка — считать, что отрицательный множитель только меняет длину. На деле модуль множителя задаёт, во сколько раз длина изменится, а знак определяет направление результата. Например, −2a⃗ направлен обратно относительно a⃗; проверить ответ можно, сравнив направления стрелок до и после умножения.

При координатных вычислениях иногда складывают координаты, относящиеся к разным осям, или теряют знак минус. Такое случается, если воспринимать пару координат как одно число. Выполняй действия отдельно по каждой позиции и подставляй отрицательные значения в скобках: например, 2 − (−3) = 5.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужно уметь задавать координаты точки и направленного отрезка на плоскости и в пространстве: координаты позволяют выполнять вычисления по компонентам. В механике векторами описывают перемещение, скорость и ускорение, а сложение помогает находить их общий результат. Поэтому правила из этого параграфа пригодятся при решении задач о движении и взаимодействиях тел.

Что запомнить

• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
• Сумму векторов можно построить по правилу треугольника или параллелограмма.
• Разность векторов равна сумме уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому.
• При умножении вектора на число его длина умножается на модуль этого числа.
• Отрицательное число при умножении меняет направление вектора на противоположное.
• Координаты суммы и разности находят действиями с соответствующими координатами.