§ 2. Прямолинейное равномерное движение

Определения и обозначения

Прямолинейное равномерное движение — движение по прямой, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения. Например, за каждую секунду оно может перемещаться на 3 м в одном направлении. Это понятие позволяет описывать движение простой формулой и не отслеживать каждую точку траектории.

Координата тела — числовое значение, задающее положение тела на выбранной координатной оси относительно начала отсчёта. Обычно её обозначают x, а начальную координату — x₀. Координата нужна, чтобы точно указать положение тела и сравнить его с положением других тел.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела; при движении вдоль оси его проекция равна изменению координаты. Проекцию перемещения обозначают Δx и находят как разность конечной и начальной координат: Δx = x − x₀. Она показывает не пройденный путь, а изменение положения с учётом направления.

Скорость прямолинейного равномерного движения — векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени; её направление совпадает с направлением перемещения. Для движения вдоль оси используют проекцию скорости vₓ = Δx/Δt. Она нужна, чтобы узнать, как быстро и в какую сторону меняется координата тела.

Как это устроено

Движение описывают относительно выбранной системы отсчёта, потому что само положение тела можно указать только по отношению к чему-либо. В систему входят тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Например, пассажир неподвижен относительно вагона, но движется относительно платформы. Поэтому координата, направление перемещения и закон движения имеют смысл только после выбора системы отсчёта.

Чтобы найти проекцию перемещения на ось, из конечной координаты вычитают начальную: Δx = x − x₀. Такой порядок вычитания сохраняет информацию о направлении: если координата уменьшилась, результат отрицателен. Положительное направление оси выбирают заранее, и движение в противоположную сторону даёт отрицательную проекцию. Это позволяет описать перемещение одним числом, не теряя сведений о направлении.

При равномерном движении за равные интервалы времени происходят равные перемещения, поэтому отношение проекции перемещения ко времени не меняется. Это постоянное отношение и есть проекция скорости: vₓ = Δx/Δt. Умножив обе части равенства на время, получаем формулу Δx = vₓt. Она показывает, что за больший промежуток тело смещается дальше, а знак смещения задаётся знаком скорости.

Закон движения связывает координату тела с моментом времени. В момент начала отсчёта времени координата равна x₀, а за время t она изменяется на Δx = vₓt. Так как конечная координата равна начальной плюс изменение координаты, получаем x = x₀ + vₓt. По этой формуле можно определить положение тела в любой момент, если известны начальная координата и проекция скорости.

График координаты от времени показывает, как положение тела меняется в ходе движения. При постоянной проекции скорости закон x = x₀ + vₓt задаёт прямую: при t = 0 она пересекает вертикальную ось в точке x₀. Наклон линии определяется тем, насколько координата меняется за единицу времени, то есть проекцией скорости. Возрастающая линия означает положительный vₓ, а убывающая — отрицательный.

На графике прямая начинается при x = 1 м и поднимается: чем больше время, тем больше координата. Её наклон соответствует постоянной положительной проекции скорости.

Величины и зависимости при прямолинейном равномерном движении

Сначала определите, какую величину требуется найти, а затем выберите соответствующую строку и проверьте единицы. В формулах для перемещения и закона движения используйте проекции, а не только модули векторов. Если известна координата в некоторый момент, закон движения позволяет восстановить недостающие величины.

Разбор задач

Задача 1. Тело движется прямолинейно из точки с координатой 5 м и за 4 с перемещается на 12 м в положительном направлении оси. Найдём проекцию скорости. Так как направление перемещения совпадает с положительным направлением оси, проекция перемещения положительна: Δx = 12 м. Начальная координата в вычислении скорости не нужна, потому что дана величина перемещения.

1. Записываем формулу проекции скорости: vₓ = Δx/Δt.
2. Подставляем значения: vₓ = 12 м/4 с = 3 м/с.
3. Проверяем знак: движение направлено вдоль положительного направления оси, поэтому знак скорости положительный.

Ответ: vₓ = 3 м/с. Единица получена делением метра на секунду, а знак согласуется с направлением движения.

Задача 2. Координата тела меняется по закону x = 3 − 2t, где координата дана в метрах, а время — в секундах. Сравним запись с общим законом x = x₀ + vₓt: свободный член задаёт координату при t = 0, а коэффициент при времени — проекцию скорости. Затем подставим заданный момент времени в исходный закон, чтобы получить положение тела.

1. Сопоставляем формулы: x = 3 + (−2)t, следовательно, x₀ = 3 м.
2. Коэффициент при t равен проекции скорости: vₓ = −2 м/с. Минус показывает движение против положительного направления оси.
3. Через 5 с координата равна x = 3 − 2 · 5 = −7 м.

Ответ: x₀ = 3 м, vₓ = −2 м/с, через 5 с координата тела равна −7 м. Отрицательная координата означает, что тело оказалось по отрицательную сторону от начала отсчёта.

Задача 3. Два тела движутся вдоль одной оси по законам x₁ = −4 + 3t и x₂ = 20 − 1t. В момент встречи их координаты равны, поэтому приравниваем правые части законов. Найдя время, подставим его в любой закон: координаты тел в этот момент совпадают.

1. Составляем уравнение встречи: −4 + 3t = 20 − t.
2. Переносим слагаемые: 4t = 24, откуда t = 6 с.
3. Подставляем время в первый закон: x₁ = −4 + 3 · 6 = 14 м.

Ответ: тела встретятся через 6 с в точке с координатой 14 м. Проверка по второму закону даёт x₂ = 20 − 6 = 14 м, то есть координаты совпадают.

Типичные ошибки

Ошибка — считать скорость отношением пройденного пути ко времени и принимать этот результат за проекцию скорости. Путь не показывает направление, поэтому так нельзя определить знак проекции; эту подмену часто допускают, потому что в быту скорость связывают с тем, как быстро движется тело. Проверяйте, что в формуле стоит именно проекция перемещения Δx, и отдельно учитывайте направление оси.

Ошибка — подставлять в формулы только модуль скорости, забывая о её знаке. Так поступают, когда воспринимают скорость лишь как число, хотя при движении вдоль оси знак сообщает направление. Перед расчётом выясните, движется ли тело по положительному направлению оси или против него, и проверьте, согласуется ли знак с изменением координаты.

Запись x = x₀ + vₓ без множителя времени неверна: скорость сама по себе не является изменением координаты. Её могут спутать с перемещением, хотя для получения перемещения скорость нужно умножить на длительность движения. Проверьте размерности: у vₓ единица м/с, поэтому только произведение vₓt имеет единицу метра и может складываться с координатой.

Отрицательную проекцию скорости иногда принимают за признак замедления. Но знак показывает направление движения относительно оси, а не изменение быстроты; при равномерном движении модуль скорости постоянен. Чтобы проверить себя, сравните знак vₓ с направлением изменения координаты: если координата убывает со временем, проекция скорости отрицательна.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки работы с координатной осью: важно уметь выбирать её положительное направление и находить разность координат. При вычислениях также следует переводить длину и время в единицы СИ, например километры — в метры, а минуты — в секунды. Это помогает правильно подставлять данные в формулы и проверять размерности результата.

Понятие системы отсчёта связано с телом отсчёта, системой координат и часами. Оно продолжает изучение относительности механического движения: один и тот же объект может быть неподвижен относительно одного тела и двигаться относительно другого. Поэтому закон движения нельзя отделять от выбранной системы отсчёта.

Закон движения и график координаты от времени позволяют решать задачи о положении тела и встрече нескольких тел. Позже эти способы описания пригодятся при изучении неравномерного движения, когда скорость меняется со временем. Сравнение простого равномерного случая с такими движениями помогает увидеть, какие зависимости остаются, а какие требуют новых формул.

Что запомнить

• При прямолинейном равномерном движении проекция скорости постоянна.
• Проекция перемещения равна изменению координаты: Δx = x − x₀.
• Для равномерного движения Δx = vₓt.
• Закон движения имеет вид x = x₀ + vₓt.
• Знак vₓ показывает направление движения относительно выбранной оси.
• Наклон графика координаты от времени связан с проекцией скорости.