§ 2. Прямолинейное равномерное движение

Определения и обозначения

Прямолинейное равномерное движение — движение по прямой, при котором за равные промежутки времени тело проходит равные пути. Значит, скорость тела не меняется ни по величине, ни по направлению. Такое описание позволяет предсказывать положение тела, не разбирая отдельно каждый участок движения.

Траектория — линия, вдоль которой движется тело. Для рассматриваемого движения траектория является прямой. Знание траектории помогает понять, какие координаты нужны для описания положения тела: здесь достаточно одной координаты вдоль прямой.

Перемещение — направленный отрезок от начального положения тела к конечному. Его проекция на ось может быть положительной или отрицательной. Путь, в отличие от перемещения, равен длине траектории и не учитывает направление; это различие нужно, чтобы не путать длину пройденного участка с изменением положения.

Скорость при равномерном движении — отношение перемещения ко времени, за которое оно произошло. Вектор скорости направлен вдоль прямой движения, а его проекцию обозначают vₓ. Скорость показывает, как быстро и в какую сторону меняется положение тела, поэтому в расчётах важно учитывать и её величину, и направление.

Как это устроено

Положение тела можно описывать только относительно выбранного тела отсчёта: например, координата человека в вагоне и координата того же человека относительно Земли меняются по-разному. К телу отсчёта добавляют систему координат и часы, чтобы указывать положение и время однозначно. Сначала выбирают начало координат и положительное направление оси. Поэтому координата и проекция скорости получают знак относительно этого выбора, а не сами по себе.

Равномерность означает, что отношение перемещения к соответствующему промежутку времени не меняется. Если за одинаковые промежутки времени тело проходит одинаковые пути, то за вдвое большее время оно проходит вдвое больший путь. Для движения вдоль оси это записывается как Δx = vₓt: проекция перемещения пропорциональна времени. Отношение Δx к t остаётся постоянным, поэтому проекция скорости vₓ постоянна.

Пусть в начале отсчёта времени тело имеет координату x₀. За время t его координата изменится на проекцию перемещения Δx, то есть станет равна x₀ + Δx. Подставив Δx = vₓt, получаем уравнение x = x₀ + vₓt. Оно позволяет найти координату тела в любой момент, если известны начальное положение и постоянная проекция скорости.

Знак vₓ зависит от того, куда направлена положительная ось. Если тело движется в её положительном направлении, проекция скорости положительна; если в противоположном — отрицательна. Отрицательное значение не означает, что тело движется «со скоростью меньше нуля»: оно указывает направление. Модуль скорости, то есть её величина без учёта направления, всегда неотрицателен, и именно его умножают на время, чтобы найти путь.

На графике координаты x от времени t каждая точка показывает положение тела в конкретный момент. При равномерном движении координата меняется линейно, поэтому график представляет собой прямую. Её значение при t = 0 равно x₀, а наклон связан с проекцией скорости: чем быстрее меняется координата за время, тем круче прямая. Если прямая поднимается вправо, vₓ положительна; если опускается — отрицательна.

Величины и уравнения прямолинейного равномерного движения

Пользуйся таблицей так: сначала установи, что требуется найти, и выбери соответствующую величину или формулу. Проверь, что время выражено в секундах, а длина — в метрах. Для пути бери модуль скорости, а для проекции перемещения сохраняй знак vₓ.

Разбор задач

Тело движется равномерно со скоростью 4 м/с в течение 6 с. Найдём пройденный путь. Для пути направление не важно, поэтому используем модуль скорости: при равномерном движении путь за время t равен произведению модуля скорости на время.

1. Запишем формулу: s = |v|t.
2. Подставим значения: s = 4 м/с · 6 с.
3. Вычислим: s = 24 м.

Ответ: 24 м.

Координата задана уравнением x = 12 − 3t, где координаты измеряются в метрах, а время — в секундах. Сравним его с общим законом x = x₀ + vₓt. Свободный член задаёт начальное положение, а коэффициент при t — проекцию скорости; минус указывает на движение против положительного направления оси.

1. Сопоставим уравнения: x₀ = 12 м, vₓ = −3 м/с.
2. Чтобы найти координату через 5 с, подставим t = 5 с: x = 12 − 3 · 5.
3. Вычислим: x = 12 − 15 = −3 м.

Ответ: x₀ = 12 м, vₓ = −3 м/с, через 5 с координата равна −3 м.

Два тела движутся навстречу друг другу: начальные координаты равны 0 м и 120 м, проекции скоростей — 5 м/с и −3 м/с. Удобно описать координату каждого тела одной осью и одним временем. В момент встречи их координаты совпадают, поэтому приравняем уравнения движения.

1. Для первого тела: x₁ = 0 + 5t; для второго: x₂ = 120 − 3t.
2. При встрече x₁ = x₂, значит, 5t = 120 − 3t.
3. Перенесём слагаемые: 8t = 120, откуда t = 15 с.
4. Подставим время в первое уравнение: x = 5 · 15 = 75 м.

Ответ: тела встретятся через 15 с в точке с координатой 75 м.

Типичные ошибки

Путь и перемещение иногда считают одной величиной, потому что оба описывают изменение положения. Но путь — длина траектории, а перемещение — направленный отрезок между началом и концом движения. Чтобы проверить себя, спроси: требуется длина пройденного участка или изменение координаты? Для пути ответ не может быть отрицательным.

При вычислении пути нельзя подставлять отрицательную проекцию скорости без учёта знака: путь неотрицателен. Ошибка возникает, когда формулу для проекции перемещения Δx = vₓt переносят на путь. Для движения по прямой используй s = |vₓ|t; знак нужен для проекции перемещения, но не для длины пути.

Запись x = vₓt верна только тогда, когда начальная координата равна нулю. Если начало координат находится не в начальном положении тела, такая запись даст неверные координаты. Проверь условие и найди координату при t = 0: она должна совпасть с x₀. В общем случае используй x = x₀ + vₓt.

Отрицательную проекцию скорости могут ошибочно принимать за отрицательную величину скорости. Причина в том, что слово «скорость» используют и для вектора с направлением, и для его модуля. Проверка простая: знак vₓ сравнивают с направлением оси, а модуль |vₓ| остаётся неотрицательным. Поэтому тело с vₓ = −3 м/с движется со скоростью по модулю 3 м/с.

Связь с другими темами

Для изучения движения нужны понятия системы отсчёта, координаты тела и промежутка времени: без них нельзя задать положение и описать его изменение. Прямолинейное равномерное движение служит простейшей моделью для сравнения с более сложными видами движения. Уравнение координаты и график пригодятся при изучении равноускоренного движения. Те же способы записи помогают решать задачи о нескольких телах: их координаты при встрече равны.

Что запомнить

• При прямолинейном равномерном движении траектория — прямая, а скорость постоянна.
• За равные промежутки времени тело проходит равные пути.
• Проекция перемещения равна произведению проекции скорости на время: Δx = vₓt.
• Координата тела меняется по закону x = x₀ + vₓt.
• Знак проекции скорости зависит от выбора положительного направления оси.
• На графике координаты от времени равномерному движению соответствует прямая.