4. Действия с векторными величинами

Определения и обозначения

Векторная величина — величина, для задания которой нужны числовое значение и направление. В механике к таким величинам относятся перемещение, скорость, ускорение и сила. Направление позволяет отличить, например, силу, действующую вправо, от такой же по модулю силы, направленной влево.

Равные векторы — сонаправленные векторы одинаковой длины, независимо от того, где они расположены. Сонаправленными называют векторы, направленные в одну сторону. Равенство векторов важно, когда нужно сравнивать физические величины: место, в котором изображена стрелка, само по себе не меняет вектор.

Сумма векторов — вектор, который получают сложением двух или нескольких векторов по геометрическому правилу. Его направление и длина зависят от всех слагаемых, а не только от их модулей. Суммой перемещений, например, задаётся общее перемещение тела.

Произведение вектора на число — вектор, длина которого изменяется в соответствии с модулем числа, а направление зависит от его знака. При положительном множителе направление сохраняется, при отрицательном становится противоположным. Это действие позволяет изменять вектор по длине и задавать вектор в обратную сторону.

Как это устроено

Векторы нельзя складывать как обычные числа, потому что числовое сложение не учитывает направления. Два перемещения по 5 м в одну сторону дают перемещение 10 м, а такие же перемещения в противоположные стороны взаимно уничтожаются. Поэтому при сложении нужно смотреть на расположение стрелок, а не только складывать их длины.

Чтобы сложить два вектора по правилу треугольника, перенесите второй так, чтобы его начало совпало с концом первого. Суммой будет вектор от начала первого к концу второго: он показывает общий результат последовательных действий. Правило параллелограмма даёт тот же результат иначе: оба слагаемых откладывают из одной точки, достраивают параллелограмм, а сумму проводят по диагонали от общей точки. Эти построения равносильны, потому что описывают одно и то же перемещение.

Несколько векторов складывают последовательно: начало каждого следующего помещают в конец предыдущего. Сумма соединяет начало первого с концом последнего и показывает итог всех действий. Порядок сложения можно менять, поскольку при любом порядке цепочка ведёт от той же начальной точки к той же конечной.

Вычитание заменяют сложением с противоположным вектором: a − b = a + (−b). Вектор −b имеет ту же длину, что b, но направлен в обратную сторону; его начало можно совместить с началом b, чтобы наглядно сравнить направления. После этого действуют по правилу сложения. Такой способ не даёт ошибочно развернуть уменьшаемый вектор вместо вычитаемого.

При умножении вектора на число его модуль умножается на модуль этого числа. Если множитель положительный, направление сохраняется; если отрицательный — вектор разворачивается на 180°. При умножении на ноль длина результата равна нулю, поэтому получается нулевой вектор, у которого нет определённого направления. Так знак множителя задаёт направление, а его модуль — изменение длины.

Основные действия с векторами

Сначала определите, какое действие требуется, затем выберите соответствующее построение. В последнем столбце проверьте, каким должен быть результат и какие свойства нельзя упустить.

Разбор задач

Задача 1. Два перемещения равны 3 м на восток и 4 м на север. Постройте их сумму и определите её модуль.

1. Обозначим первое перемещение стрелкой на восток длиной 3 м. От её конца отложим вторую стрелку на север длиной 4 м.
2. По правилу треугольника сумма соединяет начало первой стрелки с концом второй. Получился прямоугольный треугольник, потому что восток и север взаимно перпендикулярны.
3. По теореме Пифагора модуль суммы равен √(3² + 4²) м = 5 м. Направление суммы — на северо-восток.

Ответ: 5 м на северо-восток.

Задача 2. На тело действуют две силы 6 Н и 2 Н, направленные вдоль одной прямой в противоположные стороны. Найдите равнодействующую — одну силу, действие которой заменяет совместное действие данных сил.

1. Изобразим силы стрелками на одной прямой в противоположных направлениях. Поскольку направления обратные, складывать модули напрямую нельзя.
2. Большая сила равна 6 Н, меньшая — 2 Н. Их действия частично компенсируются, поэтому модуль равнодействующей равен 6 Н − 2 Н = 4 Н.
3. Направление результата совпадает с направлением большей силы, то есть силы 6 Н.

Ответ: 4 Н в направлении силы 6 Н.

Задача 3. Тело переместилось из точки A в точку B, а затем из B в C. Постройте перемещение из A в C и выразите его через векторы перемещений AB и BC.

1. Запишем перемещения по участкам как векторы AB и BC. Их удобно расположить последовательно: конец AB уже совпадает с началом BC.
2. По правилу треугольника общий вектор идёт от начала первого участка A к концу второго C. Поэтому перемещение AC = AB + BC.
3. Перемещение AC не равно обязательно длине всего пути. Путь равен сумме длин участков AB и BC, а перемещение зависит только от начальной и конечной точек.

Ответ: AC = AB + BC; это вектор из A в C, а путь равен длине траектории A–B–C.

Типичные ошибки

Складывать модули, не учитывая направления. Так поступают, потому что при обычных числах достаточно сложить значения. Но для противоположных векторов результат может быть меньше суммы модулей, а иногда равен нулю. Проверьте себя: изобразите направления и только после этого выбирайте вычисление; напрямую складывать модули можно для сонаправленных векторов.

При вычитании менять направление уменьшаемого. Это происходит из-за того, что знак минус мысленно применяют не к тому вектору. В выражении a − b направление меняют у вычитаемого b, заменяя его на −b, а затем складывают с a. Для проверки перепишите разность как a + (−b).

При умножении на отрицательное число менять только длину. Ошибка возникает, если учитывать лишь модуль множителя и забыть его знак. Например, −2a направлен противоположно a, а его модуль вдвое больше. Проверьте и длину, и направление результата отдельно.

Путать перемещение с длиной траектории. Перемещение — вектор от начальной точки к конечной, а длина пути — скаляр, то есть величина без направления. Их смешивают, потому что оба описывают движение тела. Чтобы проверить ответ, спросите себя: указано ли направление и зависит ли величина только от начала и конца пути?

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужно знать, чем векторная величина отличается от скалярной, и уметь изображать векторы стрелками. Правила сложения помогают находить общее перемещение и равнодействующую сил — силу, заменяющую совместное действие нескольких сил. Эти действия становятся основой для разложения векторов на составляющие, то есть представления одного вектора через части, направленные по выбранным осям. Такой приём используют при решении задач по механике.

Что запомнить

• Вектор задаётся модулем и направлением.
• Сумму векторов можно построить по правилу треугольника или параллелограмма.
• При сложении нескольких векторов их откладывают последовательно.
• Вычитание вектора равносильно сложению с противоположным вектором.
• При умножении вектора на число его модуль умножается на модуль этого числа.
• Отрицательный множитель меняет направление вектора на противоположное.
• Модуль суммы векторов зависит от угла между ними.