"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Векторные величины описывают не только числовое значение, но и направление: например, перемещение, скорость или силу. Вектор изображают направленным отрезком, который можно переносить параллельно самому себе. С векторами выполняют сложение, вычитание и умножение на число. Эти действия помогают находить результирующее перемещение, равнодействующую сил и другие величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Векторная величина — величина, для задания которой нужно указать не только числовое значение, но и направление. К таким величинам относятся перемещение, скорость, сила и ускорение. Одного числа недостаточно: два тела могут иметь одинаковую скорость по модулю, но двигаться в разные стороны.
Вектор — направленный отрезок, который обозначают стрелкой, например a. Его начало — точка, откуда выходит стрелка, а конец — точка у её острия; длина отрезка называется модулем вектора. Направление задаётся тем, куда указывает стрелка, поэтому вектор хранит больше информации, чем обычная длина.
Равные векторы имеют одинаковую длину и направлены в одну сторону, даже если расположены в разных местах. Поэтому один из них можно параллельно перенести так, чтобы его начало оказалось в любой удобной точке. Это позволяет строить действия с векторами, не меняя описываемую физическую величину.
Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны; векторы a и −a являются такой парой. Нулевой вектор имеет длину 0 и не имеет определённого направления, потому что его начало и конец совпадают. Он появляется, например, при сложении вектора с противоположным ему.
Вектор можно переносить параллельно самому себе, потому что при таком переносе не меняются ни его длина, ни направление. Для физической величины это означает сохранение её значения и ориентации. Например, сила 10 Н, направленная вправо, остаётся той же силой, где бы мы ни нарисовали её стрелку, если условия задачи не требуют учитывать точку приложения.
По правилу треугольника второй вектор прикладывают началом к концу первого. Такое построение отражает последовательные перемещения: сначала выполняется первый переход, затем второй из новой точки. Сумма направлена от начала первого вектора к концу второго, потому что соединяет исходное положение с конечным.
По правилу параллелограмма начала двух векторов совмещают в одной точке. Через концы векторов проводят прямые, параллельные противоположным сторонам, и получают параллелограмм. Его диагональ из общего начала является суммой, поскольку учитывает оба направления одновременно.
Вычитание заменяют сложением с противоположным вектором: a − b = a + (−b). Причина в том, что вычитание должно компенсировать действие вектора b, а компенсация направлена в обратную сторону. После замены можно применять уже знакомое правило треугольника или параллелограмма.
При умножении вектора на число его длина умножается на модуль этого числа. Если число положительное, направление сохраняется, потому что стрелка остаётся ориентированной в ту же сторону. Если число отрицательное, направление меняется на противоположное, а при умножении на ноль получается нулевой вектор.
В таблице сначала определите, какое действие требуется выполнить, а затем выберите соответствующее построение. В графе «изменение длины» указано, как меняется модуль результата. Запись результата помогает не перепутать направление и порядок действий.
| Действие | Геометрическое построение | Изменение длины | Изменение направления | Запись результата |
|---|---|---|---|---|
| Сложение двух векторов | Правило треугольника или диагональ параллелограмма | Зависит от угла между векторами | Определяется обоими векторами | a + b |
| Вычитание двух векторов | Сложение уменьшаемого с противоположным вычитаемому | Зависит от длин и угла | Определяется a и −b | a − b = a + (−b) |
| Умножение вектора на положительное число | Сохранение линии действия с изменением масштаба | Увеличивается в k раз при k > 1 или уменьшается при 0 < k < 1 | Сохраняется | ka, k > 0 |
| Умножение вектора на отрицательное число | Перенос на ту же прямую с разворотом | Умножается на |k| | Меняется на противоположное | ka, k < 0 |
| Умножение вектора на ноль | Получается точка, начало и конец совпадают | Становится равной 0 | Не определяется | 0a = 0 |
Условие. Изобразить сумму двух заданных векторов, приложив второй вектор к концу первого. Нужно получить не просто отрезок, а направленный результат последовательного действия двух векторов.
Ответ. Сумма построена по правилу треугольника и направлена от начала первого вектора к концу второго.
Условие. Даны два перпендикулярных вектора длиной 3 Н и 4 Н. Требуется найти длину их суммы. Перпендикулярность позволяет представить векторы как катеты прямоугольного треугольника.
Ответ. Длина суммы равна 5 Н. Складывать 3 Н и 4 Н напрямую можно было бы только при одинаковом направлении, а здесь угол между векторами равен 90°.
Условие. Тело переместилось на вектор s1, затем на s2, а затем вернулось на вектор, противоположный s1. Нужно найти результирующее перемещение и объяснить его направление.
Ответ. Результирующее перемещение равно s2. Движение вперёд по s1 и обратное движение на такую же величину взаимно уничтожились.
Складывают длины векторов независимо от их направлений. Так поступают, когда воспринимают стрелки как обычные числа, но результат зависит от угла между ними; проверьте, совпадают ли направления или векторы перпендикулярны.
Путают вектор и его длину, записывая направленный отрезок одним числом. Число показывает только модуль и не сообщает, куда направлена величина; мысленно добавьте к ответу стрелку или направление.
При вычитании откладывают вычитаемый вектор в том же направлении. Ошибка возникает из-за привычки вычитать числа, поэтому сначала замените a − b на a + (−b) и разверните второй вектор.
При умножении на отрицательное число изменяют только длину. Это неверно, потому что знак «минус» означает разворот; после построения проверьте, направлена ли новая стрелка противоположно исходной.
Для действий с векторами нужны направленный отрезок, длина, направление, координаты и теорема Пифагора. Эти знания помогают описывать перемещение, скорость, силу и ускорение, где одного числового значения недостаточно. Позже правила сложения понадобятся для нахождения равнодействующей сил и разложения вектора на координатные составляющие.
Чем векторная величина отличается от обычного числа?
Обычное число задаёт только значение, а для векторной величины нужны значение и направление. Например, скорость 5 м/с без указания направления описана неполностью.
Почему равные векторы можно переносить параллельно самим себе?
При параллельном переносе не меняются длина вектора и направление его стрелки. Поэтому он описывает ту же векторную величину, даже если его начало оказалось в другой точке.
Как понять, в какую сторону направлена сумма двух векторов?
Поставьте начало второго вектора в конец первого. Сумма направлена от начала первого вектора к концу второго. При построении параллелограмма она идёт по диагонали из общего начала.
Почему вычитание векторов сводится к сложению с противоположным вектором?
Противоположный вектор имеет ту же длину, но обратное направление. Поэтому a − b означает a + (−b), то есть к уменьшаемому прибавляют вектор, который направлен противоположно вычитаемому.
Что происходит с вектором при умножении на отрицательное число?
Длина вектора умножается на модуль этого числа, а направление меняется на противоположное. Например, при умножении на −2 вектор становится вдвое длиннее и разворачивается.
5. Действия с векторными величинами
