§ 15. Действие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу. Её модуль выражает формула F = |q|vB sin α, где q — заряд частицы, v — её скорость, B — магнитная индукция поля, α — угол между скоростью и магнитной индукцией. Формула позволяет найти, насколько сильно поле отклоняет заряд при заданных условиях.

Угол α — угол между векторами скорости частицы и магнитной индукции. Он нужен, чтобы учесть, какая часть движения приводит к действию магнитной силы: при перпендикулярных векторах sin α = 1, а при параллельных — sin α = 0. Поэтому одной величины скорости недостаточно, чтобы определить силу.

Радиус траектории — радиус окружности, по которой движется частица, если её скорость перпендикулярна однородному магнитному полю. Он определяется формулой r = mv/(|q|B), где m — масса частицы. Радиус помогает оценить, насколько сильно поле искривляет путь: больший радиус означает более плавный поворот.

Циклотронный период — время одного полного оборота частицы по окружности в однородном магнитном поле. Его находят по формуле T = 2πm/(|q|B). Эта величина нужна, чтобы определить длительность одного оборота и сравнить движение частиц с разными массами и зарядами.

Как это устроено

Магнитное поле действует на движущийся заряд силой Лоренца, направление которой зависит от направления движения, поля и знака заряда. Вектор силы перпендикулярен и скорости, и магнитной индукции. Для положительного заряда направление определяют правилом левой руки: линии магнитной индукции входят в ладонь, четыре пальца направляют по скорости, отогнутый большой палец показывает силу. У отрицательного заряда сила направлена противоположно, потому что знак заряда меняет направление магнитного действия.

Сила Лоренца не меняет модуль скорости, поскольку всегда направлена поперёк неё. Работа силы равна нулю: перемещение за малый промежуток направлено по скорости, а сила ему перпендикулярна. Поэтому кинетическая энергия частицы остаётся постоянной, хотя сам вектор скорости поворачивает. Магнитное поле может менять траекторию, но само по себе не сообщает частице дополнительную энергию и не отнимает её.

Когда скорость перпендикулярна магнитной индукции, сила Лоренца всё время направлена к центру будущей окружности. Она играет роль центростремительной силы, поэтому модуль силы Лоренца приравнивают к mv²/r: |q|vB = mv²/r. После сокращения скорости получают радиус r = mv/(|q|B). Значит, массивная и быстрая частица движется по более широкой окружности, а сильное поле или больший заряд сильнее искривляют её путь.

Если скорость направлена под углом к полю, её удобно разложить на две составляющие: параллельную B и перпендикулярную B. На параллельную составляющую магнитная сила не действует, а перпендикулярная вызывает вращение по окружности. Одновременно частица продвигается вдоль поля с постоянной скоростью, поэтому её путь становится винтовой линией. Радиус этой линии задаётся перпендикулярной составляющей скорости, а за один оборот частица смещается вдоль поля на шаг.

При движении строго вдоль магнитной индукции угол α равен 0°, поэтому синус угла равен нулю и сила Лоренца не возникает. Частица продолжает двигаться прямо с прежней скоростью, если на неё не действуют другие силы. Это предельный случай наклонного движения, в котором перпендикулярная составляющая скорости равна нулю. Следовательно, магнитное поле отклоняет заряд только тогда, когда у его скорости есть составляющая поперёк поля.

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Сначала найдите угол между скоростью и магнитной индукцией, а затем выберите соответствующую строку. Столбец с силой показывает, почему меняется форма пути, а последний столбец помогает понять, какие характеристики движения сохраняются. Для наклонного движения учитывайте отдельно составляющие скорости вдоль поля и поперёк него.

Разбор задач

Задача 1. Электрон движется перпендикулярно однородному магнитному полю с известными B и v. Требуется найти модуль силы и её направление. Числовые значения не заданы, поэтому ответ запишем через параметры задачи; заряд электрона по модулю равен e.

1. Угол между скоростью и полем равен 90°, поэтому sin α = 1.
2. Подставляем угол в формулу силы: F = |q|vB sin α = evB.
3. Для направления используем правило левой руки как для положительного заряда, затем учитываем отрицательный заряд электрона: действительная сила направлена противоположно показанному большому пальцу.

Ответ: модуль силы равен evB; её направление противоположно направлению, которое правило левой руки даёт для положительного заряда при тех же направлениях скорости и поля.

Задача 2. Протон влетает перпендикулярно однородному магнитному полю. Известны его скорость v, масса m, заряд q и индукция B; нужно определить радиус траектории. Так как скорость перпендикулярна полю, частица движется по окружности, а магнитная сила обеспечивает центростремительное ускорение.

1. Записываем модуль силы Лоренца: F = |q|vB.
2. Приравниваем его к центростремительной силе mv²/r: |q|vB = mv²/r.
3. Выражаем радиус, сокращая один множитель v: r = mv/(|q|B). Для протона q положителен, но в формуле радиуса используется модуль заряда.

Ответ: радиус окружности равен mv/(|q|B); для численного результата следует подставить данные задачи в единицах СИ.

Задача 3. Частица движется в однородном поле под углом к его индукции. По составляющим скорости и параметрам частицы требуется определить траекторию, её радиус и шаг за оборот. Обозначим перпендикулярную составляющую скорости v⊥, а параллельную — v∥.

1. Поскольку обе составляющие ненулевые, траектория будет винтовой: v⊥ создаёт вращение, а v∥ — движение вдоль поля.
2. Для кругового движения используем формулу радиуса с перпендикулярной скоростью: r = mv⊥/(|q|B).
3. Время одного оборота равно T = 2πm/(|q|B). За это время частица проходит вдоль поля расстояние h = v∥T = 2πmv∥/(|q|B).

Ответ: траектория винтовая, её радиус r = mv⊥/(|q|B), шаг h = 2πmv∥/(|q|B). Подстановка числовых данных даст результат в метрах.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что магнитное поле изменяет скорость частицы по модулю. Так думают, потому что траектория искривляется и кажется, будто частица разгоняется или тормозит. Проверьте направление силы: она перпендикулярна скорости и работы не совершает, поэтому меняется направление вектора, а не его длина.

Ошибка — применять правило левой руки к электрону без поправки на знак заряда. Правило сразу задаёт направление силы для положительной частицы, поэтому переносить результат на отрицательный заряд нельзя. Для проверки сначала определите направление как для положительного заряда, затем разверните его на противоположное.

Ошибка — подставлять в формулу силы угол между скоростью и силой. Он всегда равен 90°, поэтому такая подстановка скрывает зависимость от ориентации поля. В формуле F = |q|vB sin α угол α измеряют между скоростью и магнитной индукцией; сверяйте именно эти два вектора.

Ошибка — считать, что любая частица движется по окружности. Круговой путь получается при скорости, перпендикулярной полю, а при наклонном влёте добавляется продвижение вдоль поля и возникает винтовая траектория. Перед выбором формулы разложите скорость на параллельную и перпендикулярную составляющие.

Связь с другими темами

Для изучения движения зарядов нужно знать, что такое магнитная индукция, и уметь определять направление магнитного поля. Правило левой руки связывает направление поля, движения заряда и силы, а разложение вектора скорости помогает разбирать наклонное движение. Эти инструменты пригодятся при решении задач на магнитное действие тока и силы.

Закономерности движения частиц в поле применяются в ускорителях, где магнитное поле искривляет траектории заряженных частиц, и в масс-спектрометрах. В масс-спектрометре радиус пути помогает различать частицы с разными отношениями массы к заряду. Поэтому формулы параграфа связывают характеристики микрочастицы с измеряемым движением.

Что запомнить

• Магнитное поле действует силой Лоренца на движущийся заряд.
• Модуль силы Лоренца равен |q|vB sin α, где α — угол между скоростью и магнитной индукцией.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости и не совершает работу.
• При движении вдоль поля сила Лоренца равна нулю.
• При движении перпендикулярно полю частица движется по окружности радиуса r = mv/(|q|B).
• При наклонном движении частица движется по винтовой траектории.
• Период обращения T = 2πm/(|q|B) не зависит от скорости частицы.