"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Движущаяся заряженная частица в магнитном поле испытывает силу Лоренца. Она отклоняет частицу, но не разгоняет её: энергия и модуль скорости остаются прежними. По направлению силы можно определить, куда повернёт частица, а по формулам — найти радиус и период её движения. Эти закономерности помогают понять траектории частиц в приборах и устройствах, где магнитным полем управляют потоками зарядов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Магнитная составляющая силы Лоренца — сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу. Её модуль выражается формулой F = |q|vB sin α, где q — заряд, v — скорость, B — магнитная индукция, α — угол между скоростью и полем. Чем больше |q|, v и B, тем сильнее действие поля при неизменном угле. Формула нужна, чтобы находить величину отклоняющей силы.
Правило левой руки помогает определить направление силы, действующей на положительный заряд. Расположите левую руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а вытянутые пальцы были направлены по скорости положительного заряда: отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы. Для отрицательного заряда сила направлена противоположно. Это правило позволяет предсказать, в какую сторону начнёт отклоняться частица.
Радиус траектории — радиус окружности, по которой движется частица, если её скорость перпендикулярна однородному магнитному полю. Формула имеет вид r = mv/(|q|B), где m — масса частицы, а остальные обозначения те же. Из неё видно, что более быстрая или массивная частица движется по окружности большего радиуса. Радиус нужен для описания размера траектории и расчёта отклонения частицы.
Период обращения — время, за которое частица совершает один полный оборот по окружности. В однородном магнитном поле T = 2πm/(|q|B). Период зависит от массы и модуля заряда частицы, а также от магнитной индукции, но не зависит от её скорости и радиуса орбиты. Эта величина помогает определить время вращения и шаг винтовой траектории.
Магнитное поле действует на заряд не само по себе, а при его движении: сила возникает из-за взаимодействия поля с движущимся зарядом. Поэтому в формуле есть скорость, а при покое v = 0 и сила равна нулю. Важен и угол α: при движении вдоль поля sin α = 0, так что магнитная сила также исчезает. Наибольшей она становится при движении поперёк поля, когда sin α = 1.
Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно скорости, потому что её направление задаётся векторным произведением скорости и магнитной индукции. Перпендикулярная сила не имеет составляющей вдоль перемещения, а значит, не совершает работы над частицей. По этой причине кинетическая энергия и модуль скорости сохраняются. Меняется только направление вектора скорости, и именно поэтому траектория может искривляться.
Если скорость перпендикулярна однородному магнитному полю, сила Лоренца всё время перпендикулярна скорости и направлена к центру окружности. Такая сила может выполнять роль центростремительной: |q|vB = mv²/r. Решая это равенство относительно r, получаем r = mv/(|q|B). Однородность поля важна: она обеспечивает постоянство модуля силы при неизменной скорости.
При наклонном движении скорость удобно разложить на две составляющие: v∥ = v cos α вдоль поля и v⊥ = v sin α поперёк него. На продольную составляющую магнитная сила не действует, поэтому она остаётся постоянной; поперечная вызывает вращение по окружности. Сочетание равномерного движения вдоль поля и вращения вокруг его направления создаёт винтовую линию. За один оборот частица продвигается вдоль поля на расстояние h = v∥T.
Радиус и период зависят от параметров частицы и магнитного поля: r = mv⊥/(|q|B), T = 2πm/(|q|B). Из формул следует, что при увеличении B и радиус, и период уменьшаются, а при увеличении массы растут. Период не зависит от скорости, потому что при её увеличении радиус растёт так, что время полного оборота остаётся прежним. Знак заряда не меняет модуль этих величин, но задаёт направление вращения.
| Условие движения | Траектория | Что определяет движение | Изменение скорости |
|---|---|---|---|
| Скорость параллельна магнитному полю | Прямая линия | Продольная составляющая скорости; магнитная сила равна нулю | Направление и модуль постоянны |
| Скорость перпендикулярна магнитному полю | Окружность | Сила Лоренца как центростремительная сила; r = mv/(|q|B) | Модуль постоянен, направление непрерывно меняется |
| Скорость направлена под углом к магнитному полю | Винтовая линия | Вращение из-за v⊥ и перенос вдоль поля из-за v∥ | Модуль постоянен; меняется направление поперечной составляющей |
| Направление вращения для положительного и отрицательного зарядов | В противоположные стороны при одинаковых прочих условиях | Знак заряда определяет направление силы Лоренца | Модуль скорости не меняется |
Сначала сравните направление скорости с направлением магнитного поля, чтобы выбрать строку таблицы. Затем отделите изменение направления скорости от изменения её модуля: магнитная сила меняет только первое. Для наклонного движения учитывайте отдельно продольную и поперечную составляющие скорости.
Частица с зарядом q и скоростью v движется перпендикулярно полю с индукцией B. Требуется найти модуль силы, действующей на неё, без подстановки чисел. Поскольку угол между скоростью и полем равен 90°, синус угла равен единице.
Запишите формулу модуля силы: F = |q|vB sin α. Здесь нужен модуль заряда, поэтому результат получится положительным независимо от его знака. Угол α отсчитывается между векторами скорости и магнитной индукции.
Подставьте условие перпендикулярности: α = 90°, следовательно, sin α = 1. Тогда формула упрощается до F = |q|vB. Проверьте, что все величины заданы в согласованных единицах СИ.
Подставьте известные значения заряда, скорости и индукции, если они приведены в условии. Полученное произведение даст модуль силы в ньютонах. Если чисел нет, ответ остаётся в виде F = |q|vB.
Ответ: F = |q|vB.
Протон движется перпендикулярно однородному магнитному полю. По заданным массе m, скорости v и индукции B требуется найти радиус его траектории. Поскольку заряд протона положителен и равен элементарному заряду e, модуль заряда равен e.
Выпишите магнитную силу: F = evB, так как скорость перпендикулярна полю. При круговом движении центростремительная сила равна mv²/r. Приравнивание этих выражений отражает, что именно магнитная сила искривляет траекторию.
Составьте уравнение evB = mv²/r и выразите радиус: r = mv²/(evB). Сократите одну из двух одинаковых скоростей в числителе и знаменателе. Получится r = mv/(eB).
Подставьте значения массы протона, его скорости и магнитной индукции, сохраняя единицы СИ. Масса должна быть в килограммах, скорость — в метрах в секунду, поле — в теслах. Результат радиуса будет выражен в метрах.
Ответ: r = mv/(eB); численное значение определяется подстановкой данных задачи.
Заряженная частица влетает в однородное поле со скоростью v под углом α к направлению поля. Нужно определить радиус и шаг её винтовой траектории при известных m, q и B. Радиус задаёт размер витка, а шаг — продвижение вдоль поля за один полный оборот.
Разложите скорость на составляющие: v⊥ = v sin α и v∥ = v cos α. Именно поперечная составляющая вызывает вращение, поэтому в формулу радиуса подставляется не полная скорость. Продольная составляющая отвечает за движение вдоль поля.
Найдите радиус витка по формуле r = mv⊥/(|q|B). После подстановки составляющей получаем r = mv sin α/(|q|B). Если угол отсчитывается именно от направления магнитного поля, используется синус.
Вычислите период вращения: T = 2πm/(|q|B). За этот промежуток продольное движение переносит частицу на шаг h = v∥T. Подставив v∥ = v cos α, получаем h = 2πmv cos α/(|q|B).
Ответ: r = mv sin α/(|q|B), h = 2πmv cos α/(|q|B). Знак заряда влияет на направление закручивания винтовой линии, но не на радиус и шаг.
Ошибка — считать, что магнитное поле действует на неподвижный заряд. Её допускают, смешивая действие магнитного поля с электрическим: в формуле магнитной силы есть скорость, и при v = 0 сила равна нулю. Проверьте себя: если частица покоится, подстановка в F = |q|vB sin α должна дать ноль.
Ошибка — считать, что сила Лоренца изменяет модуль скорости. Обычно это предполагают, потому что любую силу связывают с разгоном или торможением, но здесь сила перпендикулярна скорости и не совершает работы. Проверьте направление силы: если она не имеет составляющей вдоль скорости, меняется направление движения, а не его модуль.
Ошибка — применять правило левой руки, не учитывая знак заряда. Правило показывает направление силы для положительного заряда, а у отрицательного сила направлена противоположно; путаница возникает, когда знак забывают после нахождения направления. Для проверки сначала определите направление для положительного заряда, затем поменяйте его на обратное, если q < 0.
Ошибка — считать, что любая частица в магнитном поле движется по окружности. Окружность возникает при скорости, перпендикулярной полю, а при наличии продольной составляющей частица одновременно перемещается вдоль поля и описывает винтовую линию. Проверьте себя, разложив скорость на составляющие: ненулевая v∥ означает, что траектория не замыкается в окружность.
Для описания действия поля нужны понятия магнитной индукции и направления магнитного поля. Направление силы находят с помощью правила левой руки, связанного с направлением векторного произведения скорости и магнитной индукции. Поэтому перед решением задачи важно уверенно различать направления этих векторов.
Формулу радиуса получают, применяя второй закон Ньютона: магнитная сила становится центростремительной силой при движении по окружности. Здесь используются также формулы центростремительного ускорения и движения по окружности. Связь помогает не заучивать выражение для радиуса, а выводить его из знакомых законов.
Отклонение заряженных частиц магнитным полем используют в масс-спектрометрах и ускорителях. В масс-спектрометре траектория помогает различать частицы по их параметрам, а в ускорителях магнитные поля управляют направлением движения пучков. То же действие объясняет отклонение заряженных частиц в различных электромагнитных устройствах.
Почему магнитное поле не разгоняет заряженную частицу?
Сила магнитного поля направлена перпендикулярно мгновенной скорости частицы. Поэтому она меняет направление скорости, но не совершает работу и не меняет кинетическую энергию.
Как определить направление силы Лоренца для отрицательного заряда?
Сначала определите направление силы по правилу левой руки так, как если бы заряд был положительным. Для отрицательного заряда направление силы будет противоположным.
Когда траектория частицы в магнитном поле является окружностью?
Окружность получается в однородном магнитном поле, если скорость частицы перпендикулярна магнитной индукции. Тогда магнитная сила всё время направлена к центру окружности и играет роль центростремительной силы.
Почему при движении под углом к полю частица описывает винтовую линию?
Скорость можно разложить на составляющие вдоль поля и поперёк него. Поперечная составляющая вызывает вращение, а продольная остаётся неизменной и переносит частицу вдоль поля, поэтому получается винтовая траектория.
От чего зависят радиус траектории и период обращения частицы?
Для движения перпендикулярно полю радиус равен r = mv/(|q|B), а период T = 2πm/(|q|B). Радиус зависит от массы, скорости, модуля заряда и магнитной индукции; период — от массы, модуля заряда и индукции, но не от скорости.
§22. Действие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы
