§23. Масс-спектрограф и циклотрон

Определения и обозначения

Масс-спектрограф — прибор, который разделяет ионы по отношению массы к заряду, используя электрическое и магнитное поля. Электрическое поле разгоняет частицы, а магнитное направляет их по разным траекториям. По местам, куда они попадают, можно сравнивать массы ионов и исследовать состав вещества.

Масс-спектр — совокупность линий или следов, оставленных ионами разных масс на детекторе. Положение линии связано с радиусом траектории и, следовательно, с массой иона при известных заряде и условиях разгона. Спектр позволяет увидеть, какие ионы присутствуют в пучке, и различить частицы с близкими массами.

Циклотрон — ускоритель заряженных частиц, в котором они многократно проходят промежуток между электродами и получают энергию от электрического поля. В магнитном поле частицы движутся по спиральным траекториям, постепенно удаляясь от центра. Такой принцип позволяет ускорять частицы при сравнительно небольшом напряжении за один проход.

Циклотронная частота — частота обращения нерелятивистской частицы в однородном магнитном поле: f = |q|B/(2πm). Здесь |q| — модуль заряда, B — магнитная индукция, m — масса частицы. Формула применима при скоростях, заметно меньших скорости света, и при движении перпендикулярно однородному полю.

Как это устроено

В масс-спектрографе сначала создают ионы и разгоняют их электрическим полем. Затем пучок попадает в область магнитного поля, где сила Лоренца искривляет траектории. Заряд определяет сторону отклонения, потому что при смене его знака меняется направление силы; величина изгиба зависит от импульса и модуля заряда. Поэтому прибор может направить ионы к разным участкам детектора.

Радиус траектории выводится из условия движения по окружности. Сила Лоренца по модулю равна |q|vB, а центростремительная сила — mv²/r; приравнивая их, получаем r = mv/(|q|B). Скорость после разгона нельзя считать заданной: если частица стартовала из покоя, работа электрического поля равна приросту энергии, |q|U = mv²/2. Подстановка этой скорости даёт r = √(2mU/|q|)/B, связывая радиус с массой иона.

Ионы одного элемента могут иметь разную массу: такие разновидности называются изотопами. Если они однозарядные и прошли одинаковое ускоряющее напряжение, то магнитное поле отклонит их по-разному, поскольку радиус зависит от массы. Более массивный ион при том же напряжении движется медленнее и имеет больший радиус. В результате следы изотопов оказываются в разных местах детектора, образуя отдельные линии масс-спектра.

В циклотроне частицы движутся внутри двух полых металлических электродов — дуантов, помещённых в магнитное поле. Между дуантами есть промежуток с переменным электрическим полем; именно при его пересечении частица получает энергию. Внутри дуанта электрического поля практически нет, поэтому магнитное поле искривляет путь, но не увеличивает скорость. После каждого ускоряющего прохода импульс растёт, и радиус орбиты становится больше.

Для нерелятивистской частицы период обращения не зависит от её скорости и радиуса: из движения по окружности следует T = 2πm/(|q|B), а частота равна f = 1/T. Это позволяет менять напряжение между дуантами в такт с частицей, чтобы каждое прохождение промежутка ускоряло её. При больших скоростях проявляется релятивистское увеличение импульса: период становится больше, а заданное переменное поле теряет синхронность с частицей. Поэтому классический циклотрон не может бесконечно увеличивать энергию.

Масс-спектрограф и циклотрон: устройство и назначение

Сравнивайте прежде всего назначение приборов: один анализирует ионы, другой сообщает им энергию. Строки о полях помогают проследить, какое поле меняет энергию, а какое — направление движения. Последние две строки показывают, как параметры частицы связаны с результатом работы установки.

Разбор задач

Радиус траектории иона

Условие. Ион массы m и заряда q разгоняют из состояния покоя напряжением U, а затем направляют перпендикулярно однородному магнитному полю B. Найти радиус траектории. Сначала нужно определить скорость, поскольку именно она входит в формулу радиуса.

1. По закону сохранения энергии работа электрического поля переходит в кинетическую энергию. Записываем |q|U = mv²/2. Модуль заряда берём потому, что важна полученная энергия, а не направление движения иона.
2. Выражаем скорость: v = √(2|q|U/m). Теперь используем условие движения по окружности, r = mv/(|q|B). Подстановка нужна, чтобы получить ответ через данные задачи, не оставляя неизвестную скорость.
3. После сокращения получаем r = √(2mU/|q|)/B. Проверка размерности показывает, что результат имеет размерность длины. При увеличении массы радиус растёт, а при усилении поля уменьшается.

Ответ: r = √(2mU/|q|)/B.

Сравнение масс изотопов

Условие. Два однозарядных изотопа разгоняют одним напряжением U и направляют в одно магнитное поле B. Их траектории имеют измеренные радиусы r₁ и r₂. Требуется найти отношение масс, предполагая, что ионы стартовали из покоя и движутся нерелятивистски.

1. Для каждого изотопа применяем формулу r = √(2mU/|q|)/B. Заряды, напряжение и магнитное поле одинаковы, поэтому все множители, кроме массы, совпадают. Это позволяет сравнить радиусы без отдельного вычисления скоростей.
2. Возводим обе зависимости в квадрат: r₁²/r₂² = m₁/m₂. Квадрат нужен, потому что радиус пропорционален квадратному корню из массы. Если радиусы измерены в одинаковых единицах, их отношение безразмерно.
3. Отношение масс равно квадрату отношения радиусов. Если один след расположен дальше от центра, соответствующий ион массивнее; удвоение радиуса означает увеличение массы в четыре раза, а не в два.

Ответ: m₁/m₂ = (r₁/r₂)².

Частота и энергия в циклотроне

Условие. Циклотрон ускоряет ион массы m и заряда q в магнитном поле B. Нужно определить частоту напряжения между дуантами и энергию частицы после N ускоряющих прохождений промежутка, если напряжение равно U. Считаем движение нерелятивистским и предполагаем, что при каждом проходе ион получает энергию |q|U.

1. Частоту обращения вычисляем по формуле f = |q|B/(2πm). Напряжение должно менять полярность в такт с обращением частицы. Такая частота обеспечивает ускоряющее направление электрического поля при каждом новом пересечении промежутка.
2. За один ускоряющий проход энергия возрастает на |q|U. После N проходов суммарный прирост равен N|q|U, если начальной энергией можно пренебречь. Если задана начальная энергия E₀, её нужно прибавить.
3. Итак, при старте из состояния покоя E = N|q|U. Здесь N — число именно ускоряющих пересечений промежутка, а не число полных оборотов. Проверка: при удвоении напряжения или числа проходов энергия удваивается.

Ответ: f = |q|B/(2πm); E = N|q|U при старте из покоя.

Типичные ошибки

Подставлять в формулу радиуса неизвестную скорость без предварительного расчёта — значит оставлять решение незавершённым. Так происходит, когда забывают, что скорость создаётся разгоном в электрическом поле. Сначала запишите |q|U = mv²/2 и найдите v. Проверьте итог: если в ответе для радиуса осталась величина, которой нет среди известных данных, задача ещё не решена.

Нельзя подменять заряд его знаком в формуле радиуса: знак определяет сторону отклонения, а радиус положителен и вычисляется через |q|. Ошибка возникает, когда используют q одновременно для направления силы и для величины окружности. Разделите эти вопросы: направление задайте знаком заряда, а в r = mv/(|q|B) подставьте модуль. Самопроверка — отрицательный радиус физического смысла не имеет.

Магнитное поле не увеличивает кинетическую энергию частицы, хотя её траектория искривляется. Часто отклонение принимают за разгон, потому что меняется скорость как вектор. Но сила Лоренца перпендикулярна скорости и работы не совершает. Проверьте рассуждение скалярным произведением силы на перемещение: оно равно нулю, следовательно, энергия не меняется.

Нельзя считать циклотронную частоту постоянной при сколь угодно больших скоростях. Эта формула получена для нерелятивистского движения, когда импульс равен mv; при приближении к скорости света период увеличивается. Ошибку выявляет проверка условия применимости: если скорость уже сравнима со скоростью света, классическая модель не подходит. В результате нарушается синхронизация с напряжением между дуантами.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны сила Лоренца, движение частицы поперёк магнитного поля и формула центростремительного ускорения. Также понадобятся закон сохранения энергии и умение находить работу электрического поля при разгоне. Эти знания помогают не смешивать две роли полей: электрическое поле меняет энергию, а магнитное — направление движения. Применения темы встречаются в ускорителях частиц и масс-спектрометрии, в частности при исследовании изотопного состава веществ.

Что запомнить

• В магнитном поле сила Лоренца искривляет траекторию заряженной частицы, но сама по себе не изменяет её энергию.
• Для движения перпендикулярно магнитному полю радиус орбиты равен r = mv/(|q|B).
• При разгоне из состояния покоя напряжением U кинетическая энергия иона равна |q|U.
• Масс-спектрограф разделяет ионы по их движению в полях и позволяет сравнивать массы.
• В нерелятивистском приближении циклотронная частота равна |q|B/(2πm) и не зависит от скорости частицы.
• В циклотроне магнитное поле удерживает частицы на орбитах, а электрическое поле ускоряет их при прохождении промежутка между дуантами.
• Релятивистское увеличение периода обращения ограничивает максимальную энергию в классическом циклотроне.