§24. Пространственные траектории заряженных частиц в магнитном поле

Определения и обозначения

Пространственная траектория заряженной частицы — линия, которую частица описывает в магнитном поле при произвольном направлении начальной скорости относительно поля. Она может быть окружностью, прямой или более сложной линией в зависимости от направления скорости. Это понятие позволяет описывать движение не только в плоскости, но и в трёх измерениях. Для однородного поля ключевой частный случай такой траектории — винтовая линия.

Винтовая линия — траектория частицы, возникающая при одновременном движении по окружности вокруг силовой линии поля и вдоль неё. Силовая линия показывает направление магнитного поля в каждой точке. Винтовое движение получается, когда у скорости есть и поперечная, и продольная составляющие. Такое описание помогает разделить сложное движение на два простых.

Радиус винтовой линии — радиус окружности, по которой движется проекция частицы на плоскость, перпендикулярную магнитному полю. Он определяется именно скоростью поперёк поля: чем она больше, тем больше радиус при прочих равных условиях. Радиус показывает ширину винтовой траектории. В формулах обычно используют r = mv⊥/(|q|B), где m — масса, q — заряд, B — магнитная индукция.

Шаг винтовой линии — расстояние вдоль магнитного поля, которое частица проходит за один период обращения. Иными словами, это продольное смещение за время одного полного оборота. Оно определяется продольной составляющей скорости и периодом: h = v∥T. Шаг показывает, насколько далеко друг от друга расположены соседние витки траектории.

Как это устроено

На движущуюся заряженную частицу в магнитном поле действует сила Лоренца, направление которой перпендикулярно и скорости, и магнитному полю. Поскольку сила направлена поперёк мгновенного перемещения, она не совершает работу: энергия и модуль скорости частицы не меняются. Меняться может только направление движения. Поэтому магнитное поле само по себе не разгоняет частицу и не тормозит её.

Чтобы понять форму траектории, скорость удобно разложить на две составляющие: v⊥ — перпендикулярную полю, и v∥ — параллельную ему. Это разложение полезно потому, что сила Лоренца по-разному влияет на каждую часть движения. Поперечная составляющая отвечает за поворот, а продольная — за перемещение вдоль поля. При угле α между скоростью и полем величины составляющих равны v⊥ = v sin α и v∥ = v cos α.

Поперечная составляющая скорости не исчезает, а непрерывно меняет направление под действием силы Лоренца. Эта сила играет роль центростремительной силы, которая необходима для движения по окружности. Приравняв её модуль |q|v⊥B центростремительной силе mv⊥²/r, получаем r = mv⊥/(|q|B). Значит, радиус растёт с массой и поперечной скоростью, но уменьшается при увеличении модуля заряда или магнитной индукции.

Параллельная составляющая скорости не создаёт магнитной силы: в формуле силы Лоренца учитывается только скорость поперёк поля. Поэтому v∥ сохраняет и величину, и направление, а частица равномерно перемещается вдоль силовой линии. Такое движение не мешает поперечному движению по окружности. Именно поэтому полную траекторию нельзя описать одной окружностью, если продольная скорость ненулевая.

Одновременное круговое движение и равномерное перемещение вдоль поля складываются в винтовую линию. За один период T частица делает полный оборот, а продольная составляющая переносит её на расстояние h = v∥T. Период находится из равенства времени оборота и длины окружности, делённой на поперечную скорость: T = 2πm/(|q|B). В итоге угол влёта задаёт одновременно радиус через sin α и шаг через cos α.

Движение частицы в однородном магнитном поле

Сначала сравните направление скорости с полем: это сразу показывает, есть ли круговое и продольное движение. Для наклонного влёта подставляйте в формулу радиуса только поперечную составляющую, а для шага — продольную. Период в нерелятивистском случае одинаков для всех трёх вариантов, но при движении строго вдоль поля обращения фактически нет.

Разбор задач

Задача 1. Движение перпендикулярно полю

Частица массой m и зарядом q движется перпендикулярно однородному магнитному полю с индукцией B со скоростью v. Требуется найти радиус траектории и период обращения. Так как скорость перпендикулярна полю, её целиком создаёт круговое движение: v⊥ = v. Движение частицы происходит по окружности.

1. Запишем силу Лоренца: FЛ = |q|vB, поскольку sin 90° = 1. Она направлена к центру окружности и обеспечивает центростремительное ускорение. Поэтому приравняем её модуль выражению mv²/r.
2. Из равенства |q|vB = mv²/r выразим радиус: r = mv/(|q|B). Сократим на v, так как скорость ненулевая. Радиус увеличивается с массой и скоростью частицы.
3. Период найдём как время прохождения длины окружности: T = 2πr/v. Подставляя найденный радиус, получаем T = 2πm/(|q|B). Скорость сокращается, поэтому период от неё не зависит.

Ответ: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B).

Задача 2. Движение вдоль поля

Заряженная частица летит вдоль однородного магнитного поля. Нужно определить направление силы Лоренца и форму траектории. Скорость в этой ситуации параллельна вектору магнитной индукции. Поэтому угол между ними равен нулю.

1. Используем модуль силы Лоренца FЛ = |q|vB sin α. При α = 0 получаем sin α = 0, следовательно, FЛ = 0. То же следует из векторной формы закона: произведение параллельных векторов равно нулю.
2. Раз сила не действует, она не может изменить направление скорости. Частица продолжает двигаться вдоль поля по прямой, если на неё не влияют другие силы. У неё нет кругового движения и периода обращения.
3. Поперечная составляющая скорости равна нулю, поэтому радиус окружности r = 0. Называть такую траекторию винтовой некорректно: витков нет. Шаг в смысле перемещения за оборот не определяется, потому что оборота не происходит.

Ответ: сила Лоренца равна нулю; траектория — прямая вдоль магнитного поля.

Задача 3. Наклонный влёт

Частица с массой m, зарядом q и скоростью v влетает под углом α к однородному полю B. Требуется найти радиус и шаг её винтовой траектории. Сначала разделим движение на поперечную и продольную части. Это необходимо, потому что радиус создаёт первая составляющая, а шаг — вторая.

1. Разложим скорость: v⊥ = v sin α и v∥ = v cos α. Поперечная часть вызывает равномерное движение по окружности, поэтому используем формулу r = mv⊥/(|q|B). После подстановки получаем r = mv sin α/(|q|B).
2. Найдём период обращения поперечного движения: T = 2πm/(|q|B). Формула не содержит скорость, поскольку скорость сокращается при выводе периода из длины окружности. Один период — это время, за которое частица совершает полный оборот вокруг силовой линии.
3. За это время продольная составляющая скорости переносит частицу вдоль поля на расстояние h = v∥T. Подставим v∥ = v cos α и выражение для периода: h = v cos α · 2πm/(|q|B). Так получаем расстояние между соседними витками.

Ответ: r = mv sin α/(|q|B); h = 2πmv cos α/(|q|B).

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что магнитная сила изменяет модуль скорости. Так иногда рассуждают, потому что сила меняет движение частицы, но здесь она направлена поперёк скорости и изменяет только её направление. Проверка: если скалярное произведение силы и скорости равно нулю, работа силы равна нулю, а кинетическая энергия не меняется.

Ошибка: подставлять полную скорость в формулу радиуса при наклонном влёте. Это неверно, потому что радиус создаёт только движение в плоскости, перпендикулярной полю; продольная скорость не влияет на изгиб траектории. Проверка: выделите v⊥ = v sin α и подставьте именно её в r = mv⊥/(|q|B).

Ошибка: считать, что при движении вдоль поля частица вращается. Такое предположение возникает из-за привычки связывать любое движение в магнитном поле с круговой траекторией. Но если скорость параллельна полю, сила Лоренца равна нулю, так что частица движется прямо; проверьте это по условию sin α = 0.

Ошибка: путать радиус винтовой линии с её шагом. Радиус характеризует поперечное расстояние от оси траектории, а шаг — продольное перемещение частицы за один оборот. Чтобы проверить себя, сопоставьте формулы: для радиуса используют v⊥, для шага — v∥T. Эти величины имеют размерность длины, но описывают разные направления.

Связь с другими темами

Для понимания пространственных траекторий нужно знать силу Лоренца, правило определения её направления и движение по окружности. Именно эти знания позволяют связать магнитное воздействие с изменением направления скорости, а затем вывести радиус и период. Новая модель применяется при изучении работы масс-спектрометров, ускорителей и магнитных ловушек. В таких устройствах магнитное поле помогает направлять заряженные частицы и управлять их движением.

Что запомнить

• Магнитная сила не совершает работы и не меняет модуль скорости частицы.
• Параллельная полю составляющая скорости остаётся постоянной.
• Перпендикулярная полю составляющая скорости вызывает движение по окружности.
• При наклонном влёте траектория частицы — винтовая линия.
• Радиус определяется перпендикулярной составляющей скорости.
• Шаг равен продольной составляющей скорости, умноженной на период обращения.