§ 16. Пространственные траектории заряженных частиц в магнитном поле

Определения и обозначения

Винтовая линия — траектория заряженной частицы в однородном магнитном поле, если её скорость имеет составляющие и вдоль, и перпендикулярно магнитной индукции. Представь движение по окружности, одновременно сопровождаемое перемещением вперёд вдоль оси этой окружности. Это определение помогает понять, почему наклонный влёт не даёт ни окружность, ни прямую.

Радиус траектории — радиус окружности, по которой движется поперечная составляющая скорости. Он зависит от массы m и модуля заряда |q| частицы, магнитной индукции B и поперечной скорости v⊥: r = mv⊥/(|q|B). По радиусу можно судить о том, насколько сильно поле искривляет движение: при прочих равных большая поперечная скорость даёт больший радиус.

Период обращения — время одного полного оборота частицы вокруг направления магнитной индукции. В нерелятивистском случае он равен T = 2πm/(|q|B) и не зависит от скорости частицы. Эта величина нужна, чтобы определить, сколько времени занимает круговое движение и какое расстояние частица успевает пройти вдоль поля.

Шаг винтовой линии — расстояние вдоль направления магнитного поля, которое частица проходит за один период обращения. Если продольная скорость равна v∥, то шаг h = v∥T. По этой величине можно описать, насколько далеко друг от друга расположены соседние витки траектории.

Как это устроено

Чтобы понять движение в поле, разложи скорость на две составляющие: параллельную магнитной индукции и перпендикулярную ей. Сила Лоренца зависит от угла между скоростью и полем, поэтому составляющая вдоль поля не создаёт магнитной силы. Разложение позволяет рассматривать сложное движение как два более простых, происходящих одновременно.

Поперечная составляющая скорости всё время перпендикулярна магнитной силе. Значит, сила меняет направление этой составляющей, но не её модуль. Она играет роль центростремительной силы: |q|v⊥B = mv⊥²/r. Из этого равенства получают r = mv⊥/(|q|B), то есть движение поперёк поля является равномерным движением по окружности.

Продольная составляющая скорости не меняется, потому что сила Лоренца на неё не действует. Нет силы вдоль поля — нет ускорения в этом направлении, поэтому частица перемещается вдоль него равномерно. Такая составляющая движения сохраняется независимо от кругового движения поперёк поля.

Если скорость направлена под углом к полю, круговое и продольное движения идут одновременно. Пока поперечная составляющая совершает один оборот, продольная переносит частицу вдоль поля; в результате её траектория становится винтовой. Ось винтовой линии совпадает с направлением магнитной индукции, а знак заряда влияет на направление закручивания.

За один период обращения частица проходит вдоль поля расстояние h = v∥T — это шаг винтовой линии. Радиус связан с поперечной скоростью, а шаг — с продольной, поэтому эти характеристики нельзя подменять друг другом. Если продольная составляющая равна нулю, шага нет и траектория становится окружностью; если равна нулю поперечная, частица движется по прямой вдоль поля.

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Сначала определи, какая составляющая скорости рассматривается, а затем прочитай соответствующие действие силы и характер движения. Если присутствуют обе составляющие, объедини круговое движение с равномерным перемещением вдоль поля. Так можно не спутать радиус витка с шагом винтовой линии.

Разбор задач

1. Частица влетает перпендикулярно однородному магнитному полю. Определите характер её траектории и запишите формулу радиуса.

Условие означает, что вся скорость перпендикулярна магнитной индукции, поэтому продольной составляющей нет. Магнитная сила направлена поперёк скорости и может искривлять движение, не изменяя её модуль. Нужно связать эту силу с центростремительной силой для кругового движения.

1. Запишем силу Лоренца по модулю: F = |q|vB, поскольку угол между скоростью и полем равен 90°.
2. Приравняем её центростремительной силе: |q|vB = mv²/r.
3. Сократим на v и выразим радиус: r = mv/(|q|B).
4. Продольного движения нет, следовательно, частица описывает окружность.

Ответ: траектория — окружность радиуса r = mv/(|q|B). Здесь m — масса частицы, |q| — модуль её заряда, v — скорость, B — магнитная индукция. Если известны значения этих величин, их подставляют в формулу в единицах СИ.

2. Частица движется вдоль однородного магнитного поля. Определите, изменятся ли её скорость и направление движения.

Скорость параллельна магнитной индукции, значит, угол между ними равен 0°. По модулю сила Лоренца определяется выражением F = |q|vB sin α. Подстановка α = 0° показывает, что магнитная сила равна нулю.

1. Определим угол между векторами: α = 0°.
2. Вычислим зависимость силы: F = |q|vB sin 0° = 0.
3. При отсутствии магнитной силы нет ускорения, которое меняло бы скорость частицы.
4. Следовательно, частица продолжает равномерно двигаться вдоль поля.

Ответ: модуль скорости и направление движения не изменятся. Траектория останется прямой, параллельной магнитной индукции. Вывод относится к движению, на которое действует только магнитное поле.

3. Частица влетает в поле под углом к его направлению. По заданным массе, модулю заряда, магнитной индукции и составляющим скорости найдите радиус и шаг винтовой линии.

Здесь поперечное и продольное движения существуют одновременно, поэтому сначала важно не использовать полную скорость вместо её составляющих. Обозначим их v⊥ и v∥, а заданные массу, заряд и магнитную индукцию — m, |q| и B. Для численного ответа подставь в формулы конкретные значения из условия.

1. Найди период обращения: T = 2πm/(|q|B).
2. Используй поперечную скорость для радиуса: r = mv⊥/(|q|B).
3. Используй продольную скорость для шага: h = v∥T.
4. При необходимости подставь формулу периода и получи h = 2πmv∥/(|q|B).

Ответ: радиус равен mv⊥/(|q|B), шаг равен 2πmv∥/(|q|B). Радиус и шаг находятся отдельно, потому что отвечают за разные направления движения. Если составляющие скорости заданы через угол α к полю, то v∥ = v cos α, а v⊥ = v sin α.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что магнитная сила одинаково действует на всю скорость. Так происходит, если не учесть угол между скоростью и полем и забыть разложить вектор на составляющие. Проверь себя формулой F = |q|vB sin α: при α = 0° сила равна нулю, а действует она на поперечную часть скорости.

Ошибка: приравнивать магнитную силу к центростремительной при наличии продольной составляющей. Такое рассуждение смешивает полный путь частицы с её круговым движением поперёк поля. Проверка простая: в равенстве |q|v⊥B = mv⊥²/r должна стоять именно поперечная скорость.

Ошибка: путать радиус винтовой траектории с её шагом. Обычно смешивают расстояние от оси до витка и расстояние между витками вдоль оси, хотя это разные величины. Проверь формулы: радиус связан с v⊥, а шаг h = v∥T — с v∥ и периодом.

Ошибка: считать, что магнитное поле изменяет модуль скорости частицы. Можно ошибочно принять изменение направления движения за ускорение, которое обязательно меняет скорость по модулю. Проверь направление силы: она перпендикулярна скорости, поэтому работы не совершает и модуль скорости сохраняется.

Связь с другими темами

Для изучения траекторий нужно знать силу Лоренца, её направление и зависимость от угла между скоростью и магнитной индукцией. Также понадобятся разложение вектора на составляющие и формулы равномерного движения по окружности. Эти знания позволяют перейти от отдельного действия силы к описанию движения частицы в пространстве.

Такая модель помогает понять принцип работы ускорителей и масс-спектрометров, где магнитное поле управляет движением заряженных частиц. Она также используется для объяснения поведения частиц в магнитном поле Земли. Во всех этих случаях важно выяснить, как направлена скорость относительно поля.

Что запомнить

• Магнитная сила действует только на составляющую скорости, перпендикулярную магнитной индукции.
• При перпендикулярном влёте частица движется по окружности.
• При движении вдоль поля магнитная сила на частицу не действует.
• При наклонном влёте траектория частицы — винтовая линия.
• Радиус винтовой траектории определяется поперечной составляющей скорости.
• Шаг винтовой линии равен произведению продольной скорости на период обращения.