§ 47. Теория атома водорода

Определения и обозначения

Квантование энергии атома водорода означает, что атом может иметь лишь некоторые определённые значения энергии, а не любую энергию из непрерывного диапазона. Такие разрешённые значения называют энергетическими уровнями. Эта идея нужна, чтобы понять, почему атом поглощает и испускает свет только определённых частот.

Стационарное состояние атома — состояние с определённой энергией, в котором атом не излучает энергию. «Стационарное» здесь означает неизменное во времени состояние, а не неподвижность электрона. Понятие позволяет отличить состояние атома от перехода между состояниями, при котором и происходит обмен энергией со светом.

Энергетический уровень — разрешённое значение энергии электрона в атоме. Уровни водорода обозначают главным квантовым числом n: оно принимает целые положительные значения 1, 2, 3 и так далее. По n можно определить, какое состояние рассматривается; например, n = 1 соответствует основному состоянию.

Энергия ионизации — энергия, необходимая, чтобы удалить электрон из атома в свободное состояние. Для водорода свободному электрону на границе ионизации приписывают энергию 0, а энергия связанного электрона отрицательна. Поэтому для ионизации из заданного состояния требуется компенсировать его отрицательную энергию.

Как это устроено

Классическая планетарная модель представляет электрон как заряженную частицу, движущуюся вокруг ядра. Ускоренно движущийся заряд, согласно классической электродинамике, должен излучать энергию, поэтому электрон терял бы её и падал на ядро; атом оказался бы неустойчивым. Кроме того, потеря энергии могла бы происходить непрерывно, а значит, модель предсказывала бы сплошной спектр. В действительности атом водорода устойчив, а его спектр состоит из отдельных линий.

Чтобы объяснить это, Бор предположил, что атом существует в стационарных состояниях с определёнными энергиями. Находясь в таком состоянии, атом не излучает, даже если электрон движется вокруг ядра. Излучение или поглощение света происходит только при переходе атома из одного стационарного состояния в другое. Эти предположения устраняют противоречие между устойчивостью атома и поведением электронного заряда в классической модели.

При переходе с одного уровня на другой энергия атома меняется, и эта разность передаётся фотону или получается от него. Энергия фотона связана с частотой соотношением E = hν, где h — постоянная Планка, а ν — частота света. Поэтому при переходе между уровнями с энергиями E₁ и E₂ выполняется hν = |E₂ − E₁|. Если атом переходит вниз, его энергия уменьшается и разность уносится фотоном; при переходе вверх атом получает такую энергию из поглощённого фотона.

Для водорода энергия уровня с главным квантовым числом n задаётся формулой Eₙ = −13,6 эВ/n². Отрицательный знак показывает, что электрон связан с ядром: чтобы сделать его свободным, энергию нужно увеличить до нуля. При росте n значения Eₙ становятся менее отрицательными, а соседние уровни сближаются, поскольку меняется величина 1/n². При n, стремящемся к бесконечности, энергия приближается к нулю — границе ионизации.

Линии спектра возникают при переходах между уровнями, потому что каждому переходу соответствует определённая разность энергий, а значит, определённая частота фотона. Если электроны переходят на один и тот же нижний уровень, набор таких переходов образует спектральную серию. Внутри серии начальные уровни могут быть разными, поэтому линии имеют разные частоты, но общий нижний уровень связывает их в одну группу. Так уровни энергии объясняют линейчатый спектр водорода.

Энергетические уровни и переходы в атоме водорода

В таблице энергия связанного электрона вычисляется по формуле Eₙ = −13,6 эВ/n², а значение 0 соответствует границе ионизации. Чтобы определить тип перехода, сравните энергию конечного и начального состояния. Разность энергий задаёт энергию фотона, а направление перехода показывает, испущен он или поглощён.

Разбор задач

Задача 1. Электрон в атоме водорода переходит с уровня n = 3 на уровень n = 2. Нужно определить, испускается или поглощается фотон. Здесь достаточно сравнить энергии состояний: уменьшение энергии атома означает, что избыток энергии должен уйти с фотоном.

1. Начальный уровень соответствует n = 3, конечный — n = 2.
2. При переходе к меньшему n энергия водорода становится более отрицательной: уровень n = 2 ниже уровня n = 3.
3. Энергия атома уменьшается, поэтому разность передаётся фотону.

Ответ: атом испускает фотон. Такой способ рассуждения применим и без расчёта частоты, если требуется только определить направление обмена энергией.

Задача 2. Найдём частоту фотона, испускаемого при переходе водорода с n = 3 на n = 2. Сначала вычислим энергии обоих уровней, затем возьмём модуль их разности и применим связь энергии фотона с частотой. Для численного результата используем 1 эВ = 1,602 × 10⁻¹⁹ Дж и h = 6,626 × 10⁻³⁴ Дж·с.

1. E₃ = −13,6/9 эВ ≈ −1,51 эВ; E₂ = −13,6/4 эВ = −3,40 эВ.
2. Энергия фотона равна |E₃ − E₂| ≈ 1,89 эВ ≈ 3,03 × 10⁻¹⁹ Дж.
3. Из E = hν получаем ν = E/h ≈ (3,03 × 10⁻¹⁹)/(6,626 × 10⁻³⁴) ≈ 4,57 × 10¹⁴ Гц.

Ответ: частота испускаемого фотона приблизительно равна 4,57 × 10¹⁴ Гц. Проверка направления показывает, что при переходе вниз атом отдаёт энергию, а полученное значение частоты положительно.

Задача 3. Определим минимальную энергию фотона, необходимую для ионизации атома водорода, если электрон находится на уровне n = 2. Ионизация доводит энергию связанного состояния до нуля, поэтому сравниваем энергию начального уровня с энергией на границе спектра. Минимальная энергия соответствует переходу ровно к границе, без дополнительной кинетической энергии электрона.

1. Энергия исходного состояния: E₂ = −13,6/2² = −3,40 эВ.
2. На границе ионизации энергия электрона равна 0 эВ.
3. Нужно сообщить энергию 0 − (−3,40) = 3,40 эВ, или около 5,45 × 10⁻¹⁹ Дж.

Ответ: минимальная энергия фотона равна 3,40 эВ. Если электрон находится на другом уровне, тот же порядок действий сохраняется: найти Eₙ и вычесть её из нуля.

Типичные ошибки

Неверно считать, что электрон излучает свет, двигаясь по стационарной орбите. Так думают, перенося на модель Бора классическое представление об ускоренном заряде. Проверьте себя: излучение связывают не с движением по стационарному состоянию, а с переходом между состояниями.

Можно перепутать направление перехода и изменение энергии: переход вниз сопровождается излучением, а вверх — поглощением фотона. Ошибка возникает, если ориентироваться только на то, увеличивается или уменьшается n, не сравнив энергии уровней. Проверьте начальную и конечную энергии: более низкая конечная энергия означает излучение.

Энергию фотона иногда принимают за полную энергию уровня. Но фотон появляется при изменении состояния атома, поэтому ему соответствует разность энергий двух уровней, а не энергия одного из них. Для проверки запишите Eфотона = |Eкон − Eнач|; при ионизации вторым состоянием будет граница с энергией 0.

Нельзя считать уровни водорода равноотстоящими. Это предположение может появиться из-за схематических изображений, на которых расстояния не всегда соблюдены. Проверьте значения по формуле Eₙ = −13,6 эВ/n²: с увеличением n соседние уровни сближаются, приближаясь к нулевой энергии.

Связь с другими темами

Для расчётов переходов нужно знать связь энергии фотона с частотой E = hν и соотношение между частотой и длиной волны c = λν. Вместе они позволяют по разности энергий уровней найти частоту, а затем длину волны света. Здесь важно различать энергию фотона и энергию целого состояния атома.

Модель атома водорода объясняет линейчатые спектры: отдельным переходам соответствуют отдельные частоты, а переходы на один нижний уровень составляют спектральную серию. Поэтому энергетические уровни дают способ связать наблюдаемые линии спектра с изменениями внутри атома. Эта идея подготавливает к изучению квантовой модели атома и строения электронных оболочек.

Что запомнить

• Энергия атома водорода принимает только определённые значения.
• В стационарном состоянии атом не излучает энергию.
• Фотон испускается при переходе атома на более низкий энергетический уровень.
• При переходе на более высокий уровень атом поглощает фотон.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней.
• При ионизации электрон переходит из связанного состояния в свободное.