§77. Теория атома водорода

Определения и обозначения

Стационарное состояние — состояние атома, в котором электрон обладает определённой энергией и не излучает. В модели Бора такие состояния соответствуют разрешённым орбитам, поэтому понятие помогает объяснить устойчивость атома, которую классическая физика предсказать не могла.

Энергетический уровень — одно из возможных значений энергии атома; для водорода Eₙ = −13,6 эВ/n², где n = 1, 2, 3… — главное квантовое число. Эта запись нужна, чтобы находить энергию атома и сравнивать состояния: чем больше n, тем ближе энергия к нулю.

Квантование момента импульса означает, что момент импульса электрона на разрешённой орбите равен L = nℏ, где ℏ = h/(2π), а h — постоянная Планка. Это правило задаёт, какие орбиты допустимы, и связывает строение атома с дискретными энергетическими уровнями.

Переход между уровнями — изменение состояния атома с испусканием или поглощением фотона. Энергия фотона равна разности энергий уровней: hν = |Eᵢ − E_f|; формула позволяет связать наблюдаемую спектральную линию с изменением энергии атома.

Как это устроено

В опытах атомы водорода излучают свет только на определённых частотах, образуя линейчатый спектр. Если бы электрон мог иметь любую энергию, атом испускал бы непрерывный набор частот. Наблюдаемые отдельные линии подсказывают, что энергия атома принимает лишь некоторые значения. Именно эту особенность и описывает модель Бора.

Классическая физика представляла электрон как заряд, движущийся вокруг протона. Ускоренно движущийся заряд должен излучать электромагнитные волны, терять энергию и постепенно приблизиться к ядру. Тогда атом был бы неустойчив, но в действительности он может существовать долго. Бор устранил противоречие, предположив, что на некоторых разрешённых орбитах электрон не излучает.

Разрешённые орбиты не выбираются произвольно: для них момент импульса электрона кратен ℏ, то есть L = nℏ. Поэтому возможны только определённые радиусы и энергии, а n называют главным квантовым числом. При n = 1 атом находится в основном состоянии с наименьшей энергией. Состояния с n > 1 называют возбуждёнными, поскольку энергия атома в них выше.

Энергия водорода Eₙ = −13,6 эВ/n² отсчитывается от состояния, в котором электрон свободен и удалён от протона. Поэтому связанные состояния имеют отрицательную энергию, а при увеличении n она приближается к нулю. Чтобы полностью оторвать электрон из основного состояния, нужно сообщить атому 13,6 эВ. Эта величина называется энергией ионизации водорода.

При переходе на более низкий уровень атом отдаёт избыток энергии фотону; при переходе на более высокий уровень фотон должен быть поглощён. Энергия фотона равна hν, поэтому частота определяется разностью уровней, а длина волны находится из λ = c/ν. Из-за дискретности уровней возможны лишь отдельные энергии фотонов и отдельные спектральные линии. Так модель связывает внутреннее строение атома с наблюдаемым светом.

Энергетические уровни и переходы в атоме водорода

Чтобы найти энергию фотона, сначала определите начальный и конечный уровни, а затем вычислите модуль разности их энергий. Направление перехода показывает, будет атом излучать или поглощать свет. Для длины волны используйте λ = hc/ΔE, предварительно выразив энергию в джоулях, если подставляете значения h и c в единицах СИ.

Разбор задач

Задача. Электрон в атоме водорода переходит с уровня n = 3 на уровень n = 2. Найдите энергию и длину волны испущенного фотона. Используйте Eₙ = −13,6 эВ/n² и соотношение λ = hc/ΔE, где hc ≈ 1240 эВ·нм. Сначала важно установить направление перехода: конечное состояние ниже начального, поэтому энергия атома уменьшится, а фотон будет испущен.

1. Находим энергию начального уровня: E₃ = −13,6/3² эВ ≈ −1,51 эВ. Здесь n = 3, поэтому энергию основного состояния делим на 9.
2. Находим энергию конечного уровня: E₂ = −13,6/2² эВ = −3,4 эВ. Она более отрицательна, потому что уровень n = 2 расположен ниже уровня n = 3.
3. Вычисляем энергию фотона по модулю разности: ΔE = |E₃ − E₂| = |−1,51 − (−3,4)| эВ ≈ 1,89 эВ. Модуль нужен, чтобы получить положительную энергию фотона.
4. Находим длину волны: λ = hc/ΔE ≈ 1240/1,89 нм ≈ 656 нм. Это видимый красный свет; найденная величина соответствует энергии перехода между указанными уровнями.

Ответ: энергия фотона примерно 1,89 эВ, длина волны — около 656 нм. Проверка смысла результата: при переходе вниз атом излучает фотон, а его энергия должна быть положительной. Значение длины волны в сотни нанометров соответствует оптическому диапазону, поэтому порядок величины правдоподобен.

Типичные ошибки

Путать энергию атома и энергию фотона. Энергия уровня отрицательна, а энергия фотона положительна и равна модулю разности двух уровней. Ошибку часто вызывает игнорирование знака минус в формуле уровней; проверьте, что итоговая энергия фотона положительна.

Считать, что при большем n энергия становится более отрицательной. В формуле Eₙ = −13,6/n² эВ при увеличении n значение приближается к нулю, то есть энергия возрастает. Ошибка возникает из-за отрицательного знака; сравните, например, −13,6 эВ и −3,4 эВ, чтобы увидеть, какое число больше.

Менять местами поглощение и излучение. Переход вниз сопровождается испусканием фотона, а переход вверх требует его поглощения. Это правило легко перепутать, если смотреть только на номера уровней; проверьте, куда изменяется энергия атома.

Подставлять энергию в формулу длины волны без согласования единиц. Формула λ = hc/ΔE требует использовать согласованные единицы, иначе результат может отличаться на огромный множитель. Ошибку обнаруживают проверкой размерности; удобно применять hc ≈ 1240 эВ·нм, если энергия дана в электронвольтах.

Связь с другими темами

Теория атома водорода опирается на понятия энергии, импульса и движения заряженной частицы из механики и электродинамики. Формула E = hν связывает её с квантовой физикой и объясняет, почему свет испускается порциями — фотонами. Анализ спектральных линий относится к оптике и спектроскопии: по длине волны света можно определить переходы и исследовать состав вещества. Ограниченность модели Бора приводит к квантовой механике, где электрон описывается не точной орбитой, а состоянием атома.

Что запомнить

• В модели Бора электрон может находиться только в разрешённых стационарных состояниях.
• Энергия уровня водорода: Eₙ = −13,6 эВ/n², где n = 1, 2, 3…
• При переходе вниз атом испускает фотон, при переходе вверх — поглощает.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней: hν = |Eᵢ − E_f|.
• Для полного удаления электрона из основного состояния водороду нужно сообщить 13,6 эВ.