§ 4. Соединение проводников

Определения и обозначения

Последовательное соединение проводников — соединение, при котором конец одного проводника соединён с началом следующего, а разветвлений в цепи нет. Все элементы образуют один путь для движения зарядов. Такое соединение позволяет сразу определить общее сопротивление сложением сопротивлений.

Параллельное соединение проводников — соединение, при котором начала проводников соединены в одном узле, а концы — в другом. Узел — точка цепи, где сходятся несколько проводников; между двумя узлами образуются ветви. Это соединение используют, когда приборам нужно подать одно и то же напряжение независимо друг от друга.

Эквивалентное сопротивление — сопротивление одного проводника, которым можно заменить соединённые проводники без изменения тока и напряжения во внешней цепи. Его обозначают R_общ или R_экв. Такая замена упрощает расчёт цепей, особенно если в них есть несколько групп резисторов.

Как это устроено

При последовательном соединении через все проводники проходит один и тот же ток, потому что в цепи нет разветвлений. Заряд, вышедший из одного участка, не может накопиться в промежутке или исчезнуть на следующем участке. Поэтому за одинаковое время через каждый проводник проходит одно и то же количество заряда.

Общее напряжение при последовательном соединении равно сумме напряжений на проводниках: Uобщ = U₁ + U₂ + … . Источник сообщает цепи энергию, которая распределяется между всеми участками. Чем больше сопротивление отдельного проводника при том же токе, тем большее напряжение приходится на него.

Формулу общего сопротивления получают из закона Ома. Для каждого проводника U₁ = IR₁ и U₂ = IR₂, а поскольку ток I одинаков, то Uобщ = IR₁ + IR₂ = I(R₁ + R₂). Сравнение с Uобщ = IRобщ даёт Rобщ = R₁ + R₂ + … .

При параллельном соединении напряжение на всех проводниках одинаково, потому что их концы подключены к одним и тем же двум узлам. Потенциальная разность между этими узлами одна и та же для каждой ветви. Поэтому при известном напряжении ток в каждой ветви определяется только сопротивлением этой ветви.

В узле заряд сохраняется: сколько тока приходит к разветвлению, столько уходит по ветвям, поэтому Iобщ = I₁ + I₂ + … . По закону Ома I₁ = U/R₁ и I₂ = U/R₂, значит Iобщ = U(1/R₁ + 1/R₂). Сравнивая это выражение с Iобщ = U/Rобщ, получаем 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂ + … .

Свойства последовательного и параллельного соединения

Таблица помогает выбрать нужное правило после определения схемы соединения. Сначала найдите узлы и проверьте, есть ли у тока один путь или несколько ветвей. Затем используйте соответствующую формулу и не смешивайте свойства тока и напряжения.

Разбор задач

Задача 1

Два резистора сопротивлением 3 Ом и 5 Ом соединены последовательно. Найдём общее сопротивление цепи.

1. При последовательном соединении сопротивления складываются, поскольку через оба резистора проходит один и тот же ток.
2. Подставим значения: Rобщ = R₁ + R₂ = 3 Ом + 5 Ом.
3. Получаем Rобщ = 8 Ом.

Ответ: 8 Ом.

Задача 2

Резисторы 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно и подключены к источнику напряжением 12 В. Требуется найти общее сопротивление и ток в каждой ветви.

1. Для параллельного соединения: 1/Rобщ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 1/2, поэтому Rобщ = 2 Ом.
2. Напряжение на каждой ветви равно 12 В, так как ветви подключены к одним узлам.
3. По закону Ома I₁ = 12/6 = 2 А для резистора 6 Ом, а I₂ = 12/3 = 4 А для резистора 3 Ом.

Ответ: Rобщ = 2 Ом; токи в ветвях — 2 А и 4 А.

Задача 3

Резисторы 4 Ом и 8 Ом соединены последовательно, а эта цепочка подключена параллельно резистору 6 Ом. Найдём сопротивление всего участка.

1. Сначала заменим последовательную цепочку: R₁₂ = 4 + 8 = 12 Ом.
2. Теперь параллельно соединены сопротивления 12 Ом и 6 Ом, поэтому 1/Rобщ = 1/12 + 1/6 = 1/12 + 2/12 = 3/12 = 1/4.
3. Следовательно, Rобщ = 4 Ом. Поэтапное упрощение позволяет не перепутать разные типы соединения.

Ответ: 4 Ом.

Типичные ошибки

Одинаковое напряжение при последовательном соединении. Так ошибаются, перенося свойство параллельных ветвей на другую схему. Проверьте себя: при последовательном соединении одинаков ток, а напряжения складываются.

Одинаковый ток при параллельном соединении. Ветви имеют разные сопротивления, поэтому при одном напряжении токи обычно различаются. Сверьте расчёт с формулой I = U/R для каждой ветви.

Сложение сопротивлений при параллельном соединении. В этом случае складываются обратные сопротивления, потому что общий ток складывается из токов ветвей. Результат должен быть меньше сопротивления самой малой ветви.

Перепутаны формулы соединений. Ошибка появляется, если начать считать, не рассмотрев узлы схемы. Сначала определите, один путь у тока или несколько, и только потом выбирайте формулу.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны понятия силы тока, напряжения, сопротивления и закон Ома для участка цепи. Они связывают величины формулой I = U/R и позволяют находить неизвестные параметры.

Правила соединения применяются при расчёте разветвлённых электрических цепей и выборе элементов приборов. С их помощью объясняют, почему бытовые устройства обычно подключают параллельно, а отдельные элементы схемы могут соединять последовательно.

Что запомнить

• При последовательном соединении ток одинаков во всех проводниках.
• При последовательном соединении напряжения складываются.
• Общее сопротивление последовательной цепи равно сумме сопротивлений.
• При параллельном соединении напряжение на всех ветвях одинаково.
• При параллельном соединении токи в ветвях складываются.
• Обратное общее сопротивление параллельной цепи равно сумме обратных сопротивлений ветвей.