§ 16. Сила всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Всемирное тяготение — взаимное притяжение любых тел, обладающих массой. Иными словами, масса любого тела служит причиной гравитационного воздействия на другие тела. Это понятие помогает увидеть общую причину падения предметов на Землю и движения небесных тел.

Сила всемирного тяготения — сила, с которой два тела притягиваются друг к другу. Она направлена вдоль прямой, соединяющей тела, причём каждое тело тянется к другому. Направление силы нужно учитывать, когда рассматривают движение тел и сравнивают действующие на них силы.

Закон всемирного тяготения утверждает: сила притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Значит, чем больше массы, тем сильнее взаимодействие, а с ростом расстояния оно ослабевает. Закон позволяет не только описывать притяжение, но и рассчитывать его величину.

Гравитационная постоянная — коэффициент G в законе всемирного тяготения; G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она задаёт масштаб гравитационного взаимодействия при выбранных единицах измерения. Её малое значение объясняет, почему сила между предметами привычных размеров почти незаметна.

Как это устроено

Движение планет по небу долго казалось отдельным от падения предметов на Землю явлением. Однако наблюдения показывали, что небесные тела движутся по закономерным траекториям, а земные предметы падают под действием силы, направленной к Земле. Возникла мысль, что оба явления могут иметь одну причину — притяжение между телами. Так идея о всемирном тяготении связала земные и небесные движения единым законом.

Закон записывают формулой F = Gm₁m₂/r². Здесь F — модуль силы притяжения, m₁ и m₂ — массы взаимодействующих тел, r — расстояние между ними, а G — гравитационная постоянная. В СИ массы выражают в килограммах, расстояние — в метрах, а силу — в ньютонах. Формула даёт величину силы; её направление устанавливают отдельно — вдоль линии, соединяющей тела.

Произведение масс в числителе показывает, как сила зависит от каждого тела по отдельности. Если увеличить одну массу вдвое, оставив другую массу и расстояние прежними, произведение m₁m₂ удвоится, поэтому вдвое увеличится и F. Квадрат расстояния находится в знаменателе: при увеличении r вдвое он становится в четыре раза больше. Следовательно, сила уменьшается в четыре раза, а не просто вдвое.

Формула непосредственно описывает взаимодействие материальных точек — тел, размерами которых в данной задаче можно пренебречь. Для сферически симметричных тел, например планеты и спутника, взаимодействие можно рассчитывать так, как если бы масса каждого тела была сосредоточена в его центре. Поэтому расстояние r в этом случае отсчитывают от центра одного тела до центра другого. Расстояние между поверхностями для подстановки не подходит, если закон применяется к центрам сфер.

Гравитация действует между любыми телами, однако её сила зависит от произведения масс и содержит очень малую постоянную G. У обычных предметов массы невелики, поэтому их взаимное притяжение слабое и теряется на фоне трения, опоры и других воздействий. У планет и звёзд массы огромны, так что гравитационная сила становится значительной. Именно поэтому она определяет движение спутников и планет, хотя между небольшими предметами её трудно заметить.

Закон всемирного тяготения и его величины

В таблице собраны обозначения, единицы и условия, которые понадобятся при расчётах. Перед подстановкой проверьте, что массы и расстояние выражены в единицах СИ, а r измерено между нужными точками. Тогда результат для F получится в ньютонах.

Разбор задач

Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м. Найти силу их притяжения. Сначала выпишем данные: m₁ = 2 кг, m₂ = 3 кг, r = 1 м. Поскольку все величины уже выражены в СИ, можно сразу подставлять их в закон.

1. Запишем формулу: F = Gm₁m₂/r². Она связывает силу с обеими массами и квадратом расстояния.
2. Подставим числа: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 2 · 3 / 1² Н. Получаем F ≈ 4,0 · 10⁻¹⁰ Н.

Ответ: сила притяжения равна примерно 4,0 · 10⁻¹⁰ Н. Очень малое значение согласуется с тем, что массы тел невелики. Единицу ньютон здесь можно указать, поскольку постоянная и исходные величины записаны в СИ.

Задача 2. Расстояние между двумя телами увеличили в 3 раза, не меняя их массы. Во сколько раз изменилась сила притяжения? Массы в формуле остаются прежними, поэтому изменится только знаменатель r². Сравним новую силу с первоначальной, не подставляя конкретные массы.

1. Обозначим исходное расстояние r, тогда новое расстояние равно 3r. В знаменателе формулы вместо r² появится (3r)² = 9r².
2. Значит, новая сила F₂ = F₁/9. Она стала в 9 раз меньше; это следует из квадрата расстояния.

Ответ: сила уменьшилась в 9 раз. Проверить рассуждение можно по пропорции F ∝ 1/r²: увеличение расстояния в три раза даёт уменьшение силы в 3² раза. Если бы силу поделили только на 3, зависимость от квадрата расстояния была бы не учтена.

Задача 3. Найти массу планеты, если известны масса спутника m, расстояние r от спутника до центра планеты и сила притяжения F. В этой задаче неизвестна одна из масс, поэтому нужно преобразовать закон, оставив её слева. Расстояние уже дано от центра планеты, следовательно, его можно использовать как r для сферически симметричной планеты.

1. Запишем закон: F = GMm/r². Здесь M — неизвестная масса планеты, m — масса спутника.
2. Умножим обе части на r² и разделим на Gm: M = Fr²/(Gm). Так выражена искомая масса.
3. Подставим заданные значения, предварительно переведя F в ньютоны, r — в метры, а m — в килограммы. Вычислим выражение и запишем результат в килограммах.

Ответ: массу планеты находят по формуле M = Fr²/(Gm). Численный результат зависит от значений, указанных в условии задачи. Перед вычислением полезно проверить, что расстояние дано до центра планеты и все величины приведены к СИ.

Типичные ошибки

Ошибка: считать силу обратно пропорциональной r, а не r². Так делают, если не замечают квадрат расстояния в знаменателе; тогда, например, увеличение r вдвое ошибочно трактуют как уменьшение силы вдвое. Проверьте себя, подставив новое расстояние именно в квадрат: (2r)² = 4r².

Ошибка: подставлять расстояние между поверхностями сферических тел вместо расстояния между центрами. Это часто происходит потому, что в условии проще заметить промежуток между ближайшими точками тел. Если тела рассматриваются как сферически симметричные, сложите промежуток с радиусами обоих тел и получите расстояние между центрами.

Ошибка: забывать переводить величины в СИ или неверно учитывать единицу G. Например, расстояние в километрах нельзя подставить как число метров без пересчёта, а массы в граммах — как килограммы. Перед вычислением запишите единицы: кг, м, Н; отдельно проверьте G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг².

Ошибка: изображать силы, действующие на тела, в одном направлении. Возможно, силу притяжения путают с движением тел или считают, что действует только одна сила на пару тел. Нарисуйте линию центров: стрелки сил направлены навстречу друг другу, каждая приложена к своему телу, а модули сил равны.

Связь с другими темами

Для работы с законом нужны понятия силы, массы и расстояния, а также умение читать пропорциональные зависимости. Единицы измерения помогают правильно подставлять значения в формулу и получать силу в ньютонах. Поэтому полезно уверенно пользоваться единицами СИ и преобразовывать величины перед расчётом.

Закон всемирного тяготения применяют при изучении движения планет и искусственных спутников: он помогает объяснить, почему их траектории связаны с притяжением небесных тел. Он также связан с ускорением свободного падения, которое возникает из-за притяжения Земли. Эти темы позволяют перейти от общей формулы взаимодействия к движению конкретных объектов.

Что запомнить

• Все тела с массой притягиваются друг к другу.
• Сила тяготения направлена вдоль линии, соединяющей тела.
• Закон всемирного тяготения: F = Gm₁m₂/r².
• Сила прямо пропорциональна каждой из масс.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами.
• Для сферических тел расстояние r измеряют между их центрами.