§ 17. Сила тяжести. Движение искусственных спутников Земли

Определения и обозначения

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает находящееся около неё тело. Она обозначается Fтяж и направлена к центру Земли. Это понятие нужно, чтобы описывать падение тел и влияние Земли на движение спутников.

Ускорение свободного падения — ускорение тела под действием силы тяжести, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Его обозначают буквой g; у поверхности Земли g ≈ 9,8 м/с². Через g находят силу тяжести: Fтяж = mg.

Искусственный спутник Земли — тело, которое движется вокруг Земли по орбите под действием силы тяжести. Спутником может быть космический аппарат, ступень ракеты или другой созданный человеком объект. Это определение помогает отличать орбитальное движение от обычного падения.

Первая космическая скорость — минимальная скорость, необходимая для движения тела по круговой орбите около Земли. У поверхности Земли она примерно равна 7,9 км/с. Зная её смысл, можно понять, почему одной вертикальной скорости недостаточно для выхода на орбиту.

Как это устроено

Сила тяжести направлена к центру Земли, потому что гравитационное притяжение действует вдоль линии, соединяющей центр планеты и тело. Вблизи поверхности расстояние до центра почти одинаково, поэтому ускорение g считают постоянным. Тогда величина силы определяется произведением массы тела на это ускорение: Fтяж = mg.

Ускорение свободного падения зависит не только от Земли, но и от расстояния до её центра. Закон всемирного тяготения даёт зависимость g = GM/r²: при увеличении r знаменатель растёт, а g уменьшается. Поэтому на большой высоте тело притягивается к Земле слабее, чем у поверхности.

Спутник не падает на Землю напрямую, потому что получает большую горизонтальную скорость. Пока он движется вперёд, сила тяжести отклоняет его путь вниз, и поверхность Земли также постепенно уходит из-под него из-за шарообразной формы планеты. В результате спутник непрерывно падает, но остаётся на орбите.

Для круговой орбиты сила тяжести направлена к центру окружности, поэтому является центростремительной силой. Записываем равенство GMm/r² = mv²/r и сокращаем массу спутника. После преобразования получаем v = √(GM/r), то есть скорость определяется массой Земли и радиусом орбиты.

Чем дальше спутник от центра Земли, тем больше радиус его орбиты и тем меньше необходимая скорость: это следует из зависимости v от 1/√r. Однако больший путь и меньшая скорость приводят к увеличению периода обращения. Поэтому удалённые спутники движутся медленнее, но дольше совершают один оборот.

Сила тяжести и движение спутника по круговой орбите

Сначала определите, о каком расстоянии идёт речь: в формулах тяготения используется расстояние до центра Земли. Для тела у поверхности можно применять приближение Fтяж = mg, а для спутника — выражение через G, M и r. Последняя строка показывает, как найти скорость кругового движения.

Разбор задач

Задача 1. Найти силу тяжести, действующую на тело массой 2 кг у поверхности Земли. Здесь известны масса и ускорение свободного падения, поэтому достаточно воспользоваться приближением для поверхности.

1. Записываем формулу: Fтяж = mg.
2. Подставляем значения: Fтяж = 2 кг · 9,8 м/с².
3. Вычисляем: Fтяж = 19,6 Н. Единица ньютон получается из произведения килограмма на метр в секунду в квадрате.

Ответ: сила тяжести равна 19,6 Н.

Задача 2. Определить ускорение свободного падения на высоте, равной радиусу Земли над её поверхностью. Нужно отличить высоту от расстояния до центра: тело находится на расстоянии r = RЗ + RЗ = 2RЗ.

1. У поверхности g₀ = GM/RЗ².
2. На данной высоте g = GM/(2RЗ)² = GM/(4RЗ²).
3. Сравниваем выражения: g = g₀/4 = 9,8/4 ≈ 2,45 м/с².

Ответ: ускорение свободного падения примерно 2,45 м/с², то есть в четыре раза меньше, чем у поверхности.

Задача 3. Найти скорость спутника на круговой орбите радиуса r. Спутник удерживается на орбите потому, что сила тяжести обеспечивает нужное центростремительное ускорение.

1. Приравниваем силы: GMm/r² = mv²/r.
2. Сокращаем массу спутника m и один множитель r, получая GM/r = v².
3. Извлекаем квадратный корень: v = √(GM/r). Массу спутника подставлять не нужно.

Ответ: скорость равна v = √(GM/r); для конкретного численного ответа нужно знать G, M и r.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что сила тяжести направлена по траектории спутника. Это неверно: направление силы — к центру Земли, а скорость в каждый момент направлена по касательной к орбите. Проверьте себя, проведя мысленную стрелку от спутника к центру планеты.

В формулу g = GM/r² иногда подставляют высоту над поверхностью вместо r. Ошибка возникает из-за смешения двух расстояний: высота отсчитывается от поверхности, а r — от центра Земли. Сначала запишите r = RЗ + h.

Ошибочно полагать, что в орбите сила тяжести исчезает. Спутник находится в состоянии непрерывного падения, и именно притяжение искривляет его траекторию. Если убрать силу тяжести, тело полетит по прямой, а не по круговой орбите.

Силу тяжести путают с ускорением свободного падения, поскольку обе величины связаны формулой Fтяж = mg. Сила зависит от массы тела и измеряется в ньютонах, а ускорение измеряется в м/с². Проверить себя можно по единицам и по наличию m в формуле.

Связь с другими темами

Для понимания движения спутника нужны второй закон Ньютона, понятие силы и формула центростремительного ускорения. Равенство силы тяжести и центростремительной силы объединяет эти темы в одной модели движения.

Параграф опирается на закон всемирного тяготения. Эти знания позволяют объяснить движение планет, Луны и космических аппаратов, а также сравнивать орбиты с разными радиусами.

Что запомнить

• Сила тяжести направлена к центру Земли.
• Вблизи поверхности Земли Fтяж = mg.
• Ускорение свободного падения уменьшается с увеличением расстояния до центра Земли.
• Спутник движется по орбите благодаря действию силы тяжести.
• Для круговой орбиты сила тяжести является центростремительной силой.
• Орбитальная скорость спутника не зависит от его массы.
• Первая космическая скорость у поверхности Земли составляет примерно 7,9 км/с.